[快速因数分解]Pollard's Rho 算法

Description

给出一个数N，求N其中的一个因数。（1和N外）
N<=10^18

好玄学的一个东西。
首先，如果直接暴力，根号n肯定过不了。
在讲正解之前，我们先来讲讲道理。

生日悖论

在n个人中，生日（月份和日期）两两不同的概率是多少。
一年取365天
很显然，第1个人的生日可以取 365365
第2个人为 364365
以此类推。
总概率为

∏i=0n−1365−i365

代入n，发现当n=23的时候，概率就已经小于50%了。
也就是说，普通的一个班里面有至少50%的概率有两个人的生日在同一天。
是不是很玄学？233
所以才叫悖论嘛~

Pollard’s Rho 算法

知道这个东西有什么卵用吗？
我们先稍稍修改一下这个问题，
从[1~N]中选出两个数i，j，|i-j|=l的概率是多少。
大约为 1500
那么如果我们选择k个数，x1~xk，使得其中有两个数的差为l的概率呢？
写个暴力计算下
当k=30时，概率就超过了50%
k=100时，基本已经100%了！
那么我们可以运用这个结论，每次rand()多一个数，判断一下，是否有差值是N的因数。
效率大大滴提高了！
从某一篇文章上看到，大约是 O(N14)
玄学♂

不过，rand可能出现神奇的东西。手打一个
f(x)=x*x+a %N
但是，在有些数据下，它会死循环。
那么我们只需要找出环，重新rand出a，再做一次。
判环可以用Floyd的聪明又有趣的方法。
A和B在同一个环上跑，怎么知道A已经跑了一圈？
我们让B的速度是A的2倍，那么当B追上A的时候A已经跑了一圈了~
玄学♀

Code

ll f(ll x) {return (mult(x,x)+t)%N;}
for(;!q;t=rand()%100) {
    a=t;b=f(t);
    while (a!=b) {
    a=f(a);b=f(f(b));
    ll k=gcd(abs(a-b),N);
    if (k>1) {
        q=k;p=N/k;break;
    }
    }
}