【线段树】浅谈区间问题(1)

文章将谈到如下内容

1、线段树，O(n)-O(qlogn) online。
2、ST（Sparse Table），O(nlogn)-O(q) online。

1.线段树

利用二分的思想将所求区间进行二分，从而将时间代价从朴素O(n^2)优化到O(nlogn)级别。
下面上一道裸题便于理解。时间代价O(2*n–构树+q*logn–q组查询)。

动态统计1

【问题描述】
有一个包含n个元素的整数数组A,对A可以进行以下两种操作：
1、修改一个元素，modify a b 例如modify 1 3，即把A[1]改为3
2、可以查询一个query a b 例如query 1 3即查询区间[1, 3]内所有元素之和。
输入
第一行两个整数n，m。 接下来n个不大于1000的数。 最后m行 每行表示一个操作,格式为，modify a b 或query a b
输出
依次输出Query a b的值。

【问题分析】 无~~~~

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=10001;
int n,m,top;  int num[N];
struct zk { int left,right,leftchild,rightchild,middle,sum; }; zk tree[N*2];
//left,right表示左区间和右区间开始和结束，这里使用的是左开右闭区间，注意！！！
void read()
{
    int i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&num[i]);
    tree[1].left=1; tree[1].right=n+1;
    top=1;
    return;
}
void build_a_tree(int k)
{
    if (tree[k].left==tree[k].right-1)
    {
        tree[k].sum=num[tree[k].left];
        return;
    }
    tree[k].middle=(tree[k].left+tree[k].right)/2;
    top++;
    tree[k].leftchild=top;
    tree[top].left=tree[k].left;
    tree[top].right=tree[k].middle;
    build_a_tree(top);
    top++;
    tree[k].rightchild=top;
    tree[top].left=tree[k].middle;
    tree[top].right=tree[k].right;
    build_a_tree(top);
    tree[k].sum=tree[tree[k].leftchild].sum+tree[tree[k].rightchild].sum;
    return;
}
int query(int a,int b,int k)
{
    if (a==tree[k].left&&b==tree[k].right-1)
        return tree[k].sum;
    else if (a>=tree[k].middle)
        return query(a,b,tree[k].rightchild);
    else if (b<tree[k].middle)
        return query(a,b,tree[k].leftchild);
    else
        return query(a,tree[k].middle-1,tree[k].leftchild)+query(tree[k].middle,b,tree[k].rightchild);
}
void modify(int a,int b,int k)
{
    if (tree[k].left==tree[k].right-1)
    {
        tree[k].sum=b;
        return;
    }
    if (tree[k].middle>a)   modify(a,b,tree[k].leftchild);
    else    modify(a,b,tree[k].rightchild);
    tree[k].sum=tree[tree[k].leftchild].sum+tree[tree[k].rightchild].sum;
    return;
}
void work()
{
    int i,a,b; char s[6];
    for (i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s%d%d",s,&a,&b);
        if (s[0]=='m') {modify(a,b,1);}
        else printf("%d\n",query(a,b,1));
    }
    return;
}
int main()
{
    read();
    build_a_tree(1);
    work();
    return 0;
}

2.Sparse Table

一个特别哲♂学的算法，基于线段树的二分思想，加上dp，从而将时间代价优化到不可思议的地步。
用F[i][j]表示从第i个元素开始，长度为j^2的区间中的最值，显然，状态转移方程是：
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 2 ^ (j - 1)][j - 1])
就是说有一个区间i到j
i~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j
i~~~~~~~~~~~~~(i+j)/2~~~~~~~~~~~~~~~j
所以说F[i][j]可以用俩区间最值来求，从而二分节省时间代价O(nlogn–构树+q–查询)
接下来说一下查询吧，很哲♂学。要求一个给定区间[a,b]中的最大值，一定可以将这个区间划分为俩个已知最值的区间(可以有重叠部分，对答案无影响)，这俩个区间分别是[a,a+(t^2)]和[b-t^2,b]，然后O(1)代价取出即可，然后查找区间就涉及2^n的快速计算，可以优化。

这里偷懒就不上代码了。。。

这就是一些比较简单的求区间问题的方法。
还有很多很神奇的东西比如说:RMQ,树状数组等等。。。。
这些内容将在下节内容中提到。