BZOJ 3107 CQOI2013 二进制a+b 构造

题目大意：给定 n 位二进制数 a,b,c ，要求重组三个数的各个位，使得 a′+b′=c′ 且最小化 c′

一个构造题咋这么多人写DP……

不考虑位数限制，显然答案只与三个数中 1 的个数有关
令 x=cnta,y=cntb,z=cntc ，其中 cntx 代表 x 中 1 的个数
不妨令 x≥y
以下用 x=10,y=5 来举例

若 z=1 ，构造方式如下：
000001111111111
011110000000001
100000000000000
证明：显然最低位肯定是 1+1=10 ，然后再往上肯定都是单个 1 ，构造方式唯一

若 1<z<y ，构造方式如下：
0001111111111
0110000000111
1000000000110
证明：
若最低位为 1+0=1 ，则去掉最低位后变成了 (x−1,y,z−1) 或 (x,y−1,z−1) ，二者都需要 x+y−z+1 位，算上最低位有 x+y−z+2 位，而这种构造法只需要 x+y−z+1 位，由数学归纳法可证最低位为 1+0=1 不优
那么最低位为 1+1=10 就确定了。然后……然后自己YY吧我没证出来不过应该是对的，感觉数学归纳法啥的能证

若 z=y ，构造方式如下：
01111111111
00000011111
10000011110
证明：这种构造方式保证 a′ 和 b′ 都是最小的，显然最优

若 y<z≤x ，构造方式如下：
01111111111
00011111000
10011110111
证明：
显然 c′ 最小 x+1 位
如果想要使 c′ 减小，只能将前面的那些 0 往前挪或将最后一个 0 往前挪
显然前面那些 0 挪不动，只能将最后一个 0 往前挪(比如变成 1001101111 )
这说明最后 z−y 位必须是 1+0=1
那么去掉最后 z−y 位，问题变成了 (x+y−z,y,y)
由 y=z 的证明可得这种构造法是最优的

若 x<z<x+y ，构造方式如下：
0111111111100
0111000000011
1110111111111
证明：
显然答案至少 z+1 位，因为 z 个 1−x 个 1 一定会得到 z−x 个 1 ，
而 z−x<y ，矛盾
然后位数确定后证明就同上了

若 z=x+y ，构造方式如下：
000001111111111
111110000000000
111111111111111
证明：这个用证明么。。。

然后……就完事了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int Digit(int x)
{
    int re=0;
    while(x)
        ++re,x>>=1;
    return re;
}
int Count(int x)
{
    int re=0;
    while(x)
        x^=x&-x,++re;
    return re;
}
int main()
{
    //freopen("3107.in","r",stdin);
    //freopen("3107.out","w",stdout);
    int x,y,z,limit,ans;
    cin>>x>>y>>z;
    limit=max( max( Digit(x) , Digit(y) ) , Digit(z) );
    x=Count(x);y=Count(y);z=Count(z);
    if(x<y) swap(x,y);
    if(z<=y) ans=((1<<x)-1)+((1<<z)-1|((1<<y-z)-1<<x));
    else if(z<=x) ans=((1<<x)-1)+((1<<y)-1<<z-y);
    else if(z<=x+y) ans=((1<<x)-1<<z-x)+((1<<z-x)-1|((1<<x+y-z)-1<<z+z-x-y));
    else ans=-1;
    if(Digit(ans)>limit) ans=-1;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}