区组设计
最近在看R-language的资料，其中有区组设计（block design）的例子，查了好些资料才搞懂。这里分享其定义和性质。
例子
任何的数学问题，都是从实际的应用中提炼而来。因而，我们介绍所谓的定义和概念，最好的切入点就是实例了。
例1：（Kirkman女生问题）
15名女生，每天3人一组外出散步。教师需要安排一种分组方案，使得一周7天中，任意两个女生恰分在同一组一次。
Kirkman给出的解答是为，
星期日：{1,2,3}, {4,8,12}, {5,10,15}, {6,11,13}, {7,9,14}
星期一：{1,4,5}, {2,8,10}, {3,13,14}, {6,9,15}, {7,11,12}
星期二：{1,6,7}, {2,9,11}, {3,12,15}, {4,10,14}, {5,8,13}
星期三：{1,8,9}, {2,12,14}, {3,5,6}, {4,11,15}, {7,10,13}
星期四：{1,10,11}, {2,13,15}, {3,4,7}, {5,9,12}, {6,8,14}
星期五：{1,12,13}, {2,4,6}, {3,9,10}, {5,11,14}, {7,8,15}
星期六：{1,14,15}, {2,5,7}, {3,8,11}, {4,9,13}, {6,10,12}
这就是v=15, k=3, r=7, λ=1的block design问题，由性质得到b=35。其实r=7也可以由性质推导得到。
由于k=3, λ=1，这也是v=15的Steiner三元系问题，
这样的安排有很多个，两两不相交的方案有13个，两两不同构的方案有80个。
例2：（饲料试验）
设有15种饲料，要从中选出3种饲料的最佳搭配。如果用枚举法，需要做C_{3}^{15}=455次试验。利用Steiner三元系设计可以减少试验次数，且结果具有一定的可靠性。这也是Kirkman女生问题的另一种形式。安排表述如下：
试验分7个阶段进行，每个阶段5天，每天喂养一个3种饲料的搭配，并要求满足一下条件：
(1) 每种饲料在每个阶段恰用过一次；
(2) 每两种饲料在全部试验中恰恰搭配过一次。
定义（block design）：
1. 设X为v元集合
2. X的b个子集构成族B={B1,B2,...,Bb}，这些子集就称作区组（block)
3. 每个子集Bi（i=1,2,...,b）都包含k个元素
4. 对任意x∈X，x恰属于r个区组，r称作x在B中的出现数
5. 对任意两个元素x,y∈X，同时含有x和y的区组数都为λ，称λ为x和y在B中的相遇数
根据上面的1--5，
1) 这样的B就称作（平衡）区组设计，其中平衡指上面的等出现数和等相遇数；(v,k,λ,r,b)刻画了区组设计的类型。
2) 当k<v时，称B为平衡不完全区组设计（BIBD： balanced incomplete block design）；
3) 当BIBD的v=b时，则称B为对称（symmetric）BIBD
通常的区组设计都指BIBD
性质：
区组设计的5个参数并非独立，其相互有关系式：
bk=rv
λ(v-1)=r(k-1)
由此可以推导得：
b=((v(v-1))/(k(k-1))) λ
r=((v-1)/(k-1)) λ
因此可以简化由(v,k,λ)来刻画区组设计的类型。显然，这里要求b和r都为正整数。
特例：
| 区组设计 | block design | (v,k,λ) | b=... | 说明 | |
| 1 | Hadamard设计 | Hadamard design | (4n+3,2n+1,n) | 4n+3 | 对称 |
| 2 | 仿射平面 | affine plane | (n2,n,1) | (n+1)n | |
| 3 | 射影平面 | projective plane | (n2+n+1,n+1,1) | n2+n+1 | 对称 |
| 4 | 单作 | unital | (q3+1,q+1,1) | ||
| 5 | Steiner三元系 | Steiner triple system | (v,3,1) | v(v-1)/6 | v≡1 or 3(mod 6), v≥3 |
| 6 | Fano平面 | Fano plane | (7,3,1) | 7 | 为1,3,5的特例 |
定理
(Steiner)三元系(v,3,1)存在的充分必要条件为：v≡1 or 3(mod 6), 且v≥3
(1) v=3时，Steiner三元系存在且唯一，b=1
{1,2,3}
(2) v=7时，Steiner三元系存在且唯一，b=7
{1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7}, {2,4,6}, {2,5,7}, {3,4,7}, {3,5,6}
(3) v=9时，Steiner三元系在同构意义下存在且唯一，b=12
{1,2,3}, {4,7,8}, {5,6,9}
{1,4,5}, {2,7,9}, {3,6,8}
{1,6,7}, {2,5,8}, {3,4,9}
{1,8,9}, {2,4,6}, {3,5,7}
(4) v=13时，Steiner三元系，互不同构的有两个，b=26
(5) v=15时，Steiner三元系，互不同构的有80个，b=35
也就是Kirkman女生问题
(6) 对其他的v取值，满足定理的前部。互不同构的Steiner三元系个数问题尚未完全解决。
定义：(incidence matrix)
设X={x1,x2,...,xv}，B={B1,B2,...,Bb}，则BIBD区组设计B的关联矩阵（incidence matrix）定义为M={mij}v×b，其中：
mij=1, 若xi∈Bj
mij=0, 其它情况
性质：
该矩阵满足关系式：
MMT=(r-λ)I+λJ
其中I为v×v的恒等/单位矩阵（identify matrix），J为v×v的全1矩阵（unit matrix）
参考文献：
1. Weisstein, Eric W., http://mathworld.wolfram.com/BlockDesign.html
2. Wikipedia.org, http://en.wikipedia.org/wiki/Block_design
3. 《现代应用数学手册》编委会，《现代应用数学手册--离散数学卷》，清华大学出版社：2002年