【IOI 1999】橱窗布置 （DP）

Description

　　假设以最美观的方式布置花店的橱窗，有F束花，每束花的品种都不一样，同时，至少有同样数量的花瓶，被按顺序摆成一行，花瓶的位置是固定的，并从左到右，从1到V顺序编号，V 是花瓶的数目，编号为1的花瓶在最左边，编号为V的花瓶在最右边，花束可以移动，并且每束花用1到F 的整数惟一标识，标识花束的整数决定了花束在花瓶中列的顺序即如果I < J，则花束I 必须放在花束J左边的花瓶中。 
　　例如，假设杜鹃花的标识数为1，秋海棠的标识数为2，康乃馨的标识数为3，所有的花束在放人花瓶时必须保持其标识数的顺序，即：杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。如果花瓶的数目大于花束的数目，则多余的花瓶必须空，即每个花瓶中只能放一束花。 
　　每一个花瓶的形状和颜色也不相同，因此，当各个花瓶中放人不同的花束时会产生不同的美学效果，并以美学值(一个整数)来表示，空置花瓶的美学值为0。在上述例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值，可以用如下表格表示。 
　　根据表格，杜鹃花放在花瓶2中，会显得非常好看，但若放在花瓶4中则显得很难看。 
　　为取得最佳美学效果，必须在保持花束顺序的前提下，使花的摆放取得最大的美学值，如果具有最大美学值的摆放方式不止一种，则输出任何一种方案即可。题中数据满足下面条件：1≤F≤100，F≤V≤100，－50≤AIJ≤50，其中AII是花束I摆放在花瓶J中的美学值。输入整数F，V 和矩阵(AIJ)，输出最大美学值和每束花摆放在各个花瓶中的花瓶编号。 
　　　　　　 

Input

第一行包含两个数：F，V。 随后的F 行中，每行包含V 个整数，Aij 即为输入文件中第（i+1 ）行中的第j 个数

Output

包含两行:第一行是程序所产生摆放方式的美学值。第二行必须用F 个数表示摆放方式，即该行的第K个数表示花束K所在的花瓶的编号。

Sample Input

3 5
7 23 -5 -24 16
5 21 -4 10 23
-21 5 -4 -20 20

Sample Output

53
2 4 5

Hint

1≤F≤100，其中F 为花束的数量，花束编号从1至F。 
F≤V≤100，其中V 是花瓶的数量。 
-50≤Aij≤50，其中Aij是花束i在花瓶j 中的美学值。 

题解：

设计一个状态opt[i,j]表示将第i束花放在第j个花瓶中可使前i束花或得的最大美学价值，那么决策就很容易想到了：将第i束花放在第j个瓶中，那么第i-1束花只能放在前j-1个瓶里，显然我们要找到一个放在前j-1个瓶中的一个最大的美学价值在加上当前第i束放在第j个瓶中的美学价值就是OPT[I，J]的值。

显然符合最优化原理和无后效性。

状态转移方程：

opt[i,j]=max{opt[i-1,k]}+a[i,j]      (i<=k<=j-1) 为什么是i<=呢？

复杂度：状态数O（FV）*转移代价O（V）=O（FV2）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;

int F, V;
int a[101][101];
int dp[101][101];
int path[101][101];
const int INF = 999999999;

void print(int id, int index)
{
    if(id == 0)
    {
        printf("%d ",index+1);
        return;
    }
    print(id-1, path[id][index]);
    printf("%d ",index+1);
}

void output()
{
    int j, index = F - 1;
    for(j = F - 1; j < V; j++)
        if(dp[F-1][j] > dp[F-1][index])
            index = j;
    printf("%d\n",dp[F-1][index]);
    print(F-1, index);
    printf("\n");
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&F,&V) != EOF)
    {
        int i, j, k;
        for(i = 0; i < F; i++)
            for(j = 0; j < V; j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);

        for(i = 0; i < F; i++)
            for(j = 0; j < V; j++)
                dp[i][j] = -INF;

        for(j = 0; j < V; j++)
            dp[0][j] = a[0][j];

        for(i = 1; i < F; i++)
            for(j = i; j < V; j++)
                for(k = i - 1; k < j; k++)
                    if(dp[i-1][k] + a[i][j] > dp[i][j])
                    {
                        dp[i][j] = dp[i-1][k] + a[i][j];
                        path[i][j] = k;
                    }
        output();
    }
    return 0;
}