[Wikioi 1105][NOIP 2005提高组]过河
题目描述 Description
在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
输入描述 Input Description
输入第一行有一个正整数L（1<=L<=109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1<=S<=T<=10，1<=M<=100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。
输出描述 Output Description
输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。
样例输入 Sample Input
10
2 35
2 3567
样例输出 Sample Output
2
数据范围及提示 Data Size & Hint
数据规模
对于30%的数据，L<=10000；
对于全部的数据，L<=109。
题目思路
此题是一道典型的DP题，动规方程f[i]=min(f[i])+a[i](f[i]=到达i点所需最少石子数，a[i]=1表示i点有石子，a[i]=0表示i点无石子)，方程比较简单，但考虑到此题数据范围太大，单纯使用这样的普通DP必然超时，而可能很长一段距离里都没有石子，那么可以考虑使用状态压缩型DP，如下图所示
第2、第3个点间距离超过了青蛙最大跳跃距离，则青蛙站在第2个石子上不可能跳到第3个石子去，第2、3个点间距离大于青蛙最大跳跃距离，而这个距离如果等于其最大跳跃距离(即一个临界值)，青蛙一样跳不过去，因此该距离可以压缩为青蛙最大跳跃距离，如果两个石子间的距离小于其最大跳跃距离，就不能压缩（压缩后距离反而变大了）
压缩完成后，就可以将此题化为一般的DP题解决掉，然后AC
顺便还要补充一下，最后的DP循环为什么要循环到压缩距离+最大跳跃距离，由题意可得青蛙不一定要落在终点，它可以落在终点后方，而青蛙站在终点（还是临界值）跳时，最远只能落在压缩距离+最大跳跃距离这个位置，因此要循环到这里来，图中“永远不会溢出”打错了。。。
下面是代码
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define MAXN 100020
#define INF 100000000
using namespace std;
int min(int a,int b)
{
if(a<b)
return a;
return b;
}
int main()
{
int stone[200]; //stone[i]表示第i个石子距起点的长度
int pos[MAXN]={0};//pos[i]=1表示距起点距离为i的点有一个石子
int f[MAXN]; //f[i]=到距起点距离为i的点要经过的最少石子数
memset(f,0,sizeof(f));
memset(pos,0,sizeof(pos));
int distance=0,L,S,T,M,oldlen,ziplen,i,j; //distance=压缩后每个石子的距离，oldlen=压缩前的石子距离,ziplen=压缩后的石子距离
scanf("%d%d%d%d",&L,&S,&T,&M);
for(i=1;i<=M;i++)
scanf("%d",&stone[i]);
sort(stone+1,stone+M+1); //将石子距起点长度升序排序
for(i=1;i<=M;i++) //循环，压缩石子间的距离
{
oldlen=stone[i]-stone[i-1]; //压缩前的石子间距
ziplen=T; //压缩后的石子间距=青蛙单次跳跃最大距离
if(ziplen>oldlen) ziplen=oldlen; //如果压缩距离大于原始距离，压缩距离等于原始距离
distance+=ziplen; //更新压缩后最后一个石子的位置
pos[distance]=1; //新的最后一个石子的位置标记为1，有石子
}
// f[0]=1;
for(i=1;i<=distance+T;i++)
//由于青蛙最后一次跳跃的落点位置可能大于压缩后总距离distance,但它一定小于distance+T
//因此循环终点定为distance+T,i=当前青蛙的位置
{
int minn=INF; //到达i点经过的最少石子数
for(j=i-T;j<=i-S;j++) //要想到达i，j最近要到i-T,最远到i-S
{
if(j>=0)
minn=min(minn,f[j]); //更新到达i点要经过的最少石子数(i点的石子不算)
}
f[i]=minn+pos[i];
}
int ans=INF;
for(i=distance;i<=distance+T;i++) //最终落点在区间[distance,distance+T]，寻找最优解的落点
ans=min(ans,f[i]);
if(S==T) //如果最小跳跃距离等于最大跳跃距离，那么ans=距离是S(T)的倍数的石子数
{
ans=0;
for(i=1;i<=M;i++)
{
if(stone[i]%S==0) //第i个石头的距离是S的倍数
ans++;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}