[ONTAK2010]Highways

想学线段树合并找的一个题。。没想到是个傻逼题。

这题题意好像有问题：额外的点对和查询的点对都不会是同一个点。

设x的dfs序为dfn(x)，x的子树中dfs序最大的节点的dfs序为dr(x)。将额外的边(u,v)看作点 (dfn(u),dfn(v))(dfn(u)≤dfn(v)) 。对于一次查询 (u,v)(dfn(u)≤dfn(v)) ，如果lca(u,v)==u，那么就找到v的一个祖先x使得fa(x)=u，然后就相当于询问矩形[dfn(v),dr(v)]-[1,dfn(x)-1]+[dfn(v),dr(v)]-[dr(x)+1,n]矩形中点的个数；如果lca(u,v)!=v，那么就相当于询问[dfn(v),dr(v)]-[dfn(u),dr(u)]中点的个数。所以就是平面上有一些点，然后每次询问一个矩形中有多少点。。就成了noip难度的题了。。
一个非常直观的想法就是扫描线+bit，把每个矩形拆成两次询问。这样做的时间复杂度是 O(n+(m+q)log2n) 。如果要求在线的话就换成主席树就可以了。
但是我为什么要为这样一道水题写解题报告呢？——因为注意到m与q不同阶，所以又到了喜闻乐见的分块大战bit的时候了！我们实际上面临 105 次插入和 2∗106 次查询，所以如果我们分块，时间复杂度 O(n+mn√+q) ！
能不能跑过bit呢？答案当然还是一如既往的。。并不能。。

代码（bit）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
const int N=1e5+5,M=1e5+5,Q=5e5+5;
int n;

char * cp=(char *)malloc(10000000);
void in(int &x){
    while(*cp<'0'||*cp>'9')++cp;
    for(x=0;*cp>='0'&&*cp<='9';)x=x*10+(*cp++^'0');
}
char * os=(char *)malloc(4000000),* op=os;
void out(int x){
    if(x){
        out(x/10);
        *op++='0'+x%10;
    }
}

int next[N<<1],succ[N<<1],ptr[N],etot=1;
void addedge(int from,int to){
    next[etot]=ptr[from],ptr[from]=etot,succ[etot++]=to;
}
int dfn[N],dr[N],dtot=1;
const int Log=17;
int top[N],size[N],fa[N];
void sizedfs(int node){
    size[node]=1;
    for(int i=ptr[node];i;i=next[i])
        if(succ[i]!=fa[node]){
            fa[succ[i]]=node;
            sizedfs(succ[i]);
            size[node]+=size[succ[i]];
        }
}
void builddfs(int node){
    //printf("%d ",node);

    dfn[node]=dtot++;

    if(!top[node])top[node]=node;
    int bigson=0;
    for(int i=ptr[node];i;i=next[i])
        if(fa[node]!=succ[i]&&size[succ[i]]>size[bigson])
            bigson=succ[i];
    if(bigson){
        builddfs(bigson);
        for(int i=ptr[node];i;i=next[i])
            if(fa[node]!=succ[i]&&bigson!=succ[i])
                builddfs(succ[i]);
    }

    dr[dfn[node]]=dtot-1;
}

int bit[N];
void add(int x){
    for(;x<=n;x+=x&-x)++bit[x];
}
int query(int x){
    int ans=0;
    for(;x;x-=x&-x)ans+=bit[x];
    return ans;
}

struct PS{
    int x,y;//x>=y
    bool operator < (const PS & o)const{
        return x<o.x;
    }
}point[M];

struct QS{
    int x,yl,yr;
    int coe;
    int i;
    bool operator < (const QS & o)const{
        return x<o.x;
    }
}que[Q<<2];
int qtot;
int ans[Q];

int main(){
    freopen("bzoj_3488.in","r",stdin);
    freopen("bzoj_3488_bit.out","w",stdout);
    fread(cp,1,10000000,stdin);
    in(n);
    int u,v;
    for(int i=n;--i;){
        in(u),in(v);
        addedge(u,v),addedge(v,u);
    }

    sizedfs(1);
    builddfs(1);
    //puts("");

    int m;
    in(m);
    for(int i=m;i--;){
        in(point[i].x),in(point[i].y);
        if((point[i].x=dfn[point[i].x])<(point[i].y=dfn[point[i].y]))swap(point[i].x,point[i].y);
        //printf("(%d,%d)\n",point[i].x,point[i].y);
    }
    int q;
    in(q);
    for(int i=0;i<q;++i)ans[i]=1;
    int x;
    for(int i=0;i<q;++i){
        in(u),in(v);
        if(dfn[u]>dfn[v])swap(u,v);
        //printf("(%d,%d):",u,v);
        if(dr[dfn[u]]>=dr[dfn[v]]){
            if(dr[dfn[u]+1]>=dr[dfn[v]])x=dfn[u]+1;
            else{
                x=v;
                while(fa[top[x]]!=u)x=fa[top[x]];
                x=dfn[x];
            }
            //printf("%d\n",x);
            que[qtot++]=(QS){dfn[v]-1,1,x-1,-1,i};
            que[qtot++]=(QS){dr[dfn[v]],1,x-1,1,i};
            que[qtot++]=(QS){dr[x],dfn[v],dr[dfn[v]],-1,i};
            que[qtot++]=(QS){n,dfn[v],dr[dfn[v]],1,i};
        }
        else{
            //puts("Two subtree");
            que[qtot++]=(QS){dfn[v]-1,dfn[u],dr[dfn[u]],-1,i};
            que[qtot++]=(QS){dr[dfn[v]],dfn[u],dr[dfn[u]],1,i};
        }
    }

    sort(point,point+m),sort(que,que+qtot);
    for(int i=1,j=0,k=0;i<=n;++i){
        for(;point[j].x==i;++j)add(point[j].y);
        for(;que[k].x==i;++k)ans[que[k].i]+=que[k].coe*(query(que[k].yr)-query(que[k].yl-1));
    }

    for(int i=0;i<q;++i){
        if(ans[i])out(ans[i]);
        else *op++='0';
        *op++='\n';
    }
    fwrite(os,1,op-os,stdout);
}

代码（分块）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
const int N=1e5+5,M=1e5+5,Q=5e5+5;
int n;

char * cp=(char *)malloc(10000000);
void in(int &x){
    while(*cp<'0'||*cp>'9')++cp;
    for(x=0;*cp>='0'&&*cp<='9';)x=x*10+(*cp++^'0');
}
char * os=(char *)malloc(4000000),* op=os;
void out(int x){
    if(x){
        out(x/10);
        *op++='0'+x%10;
    }
}

int next[N<<1],succ[N<<1],ptr[N],etot=1;
void addedge(int from,int to){
    next[etot]=ptr[from],ptr[from]=etot,succ[etot++]=to;
}
int dfn[N],dr[N],dtot=1;
const int Log=17;
int top[N],size[N],fa[N];
void sizedfs(int node){
    size[node]=1;
    for(int i=ptr[node];i;i=next[i])
        if(succ[i]!=fa[node]){
            fa[succ[i]]=node;
            sizedfs(succ[i]);
            size[node]+=size[succ[i]];
        }
}
void builddfs(int node){
    //printf("%d ",node);

    dfn[node]=dtot++;

    if(!top[node])top[node]=node;
    int bigson=0;
    for(int i=ptr[node];i;i=next[i])
        if(fa[node]!=succ[i]&&size[succ[i]]>size[bigson])
            bigson=succ[i];
    if(bigson){
        builddfs(bigson);
        for(int i=ptr[node];i;i=next[i])
            if(fa[node]!=succ[i]&&bigson!=succ[i])
                builddfs(succ[i]);
    }

    dr[dfn[node]]=dtot-1;
}

const int B=320;
int bs[505],s[505][505];
void add(int x){
    for(int i=x/B;i<=n/B;++i)++bs[i+1];
    for(int j=x%B+1;j<=B;++j)++s[x/B+1][j];
}
int query(int x){
    return bs[x/B]+s[x/B+1][x%B+1];
}

struct PS{
    int x,y;//x>=y
    bool operator < (const PS & o)const{
        return x<o.x;
    }
}point[M];

struct QS{
    int x,yl,yr;
    int coe;
    int i;
    bool operator < (const QS & o)const{
        return x<o.x;
    }
}que[Q<<2];
int qtot;
int ans[Q];

int main(){
    freopen("bzoj_3488.in","r",stdin);
    freopen("bzoj_3488.out","w",stdout);
    fread(cp,1,10000000,stdin);
    in(n);
    int u,v;
    for(int i=n;--i;){
        in(u),in(v);
        addedge(u,v),addedge(v,u);
    }

    sizedfs(1);
    builddfs(1);
    //puts("");

    int m;
    in(m);
    for(int i=m;i--;){
        in(point[i].x),in(point[i].y);
        if((point[i].x=dfn[point[i].x])<(point[i].y=dfn[point[i].y]))swap(point[i].x,point[i].y);
        //printf("(%d,%d)\n",point[i].x,point[i].y);
    }
    int q;
    in(q);
    for(int i=0;i<q;++i)ans[i]=1;
    int x;
    for(int i=0;i<q;++i){
        in(u),in(v);
        if(dfn[u]>dfn[v])swap(u,v);
        //printf("(%d,%d):",u,v);
        if(dr[dfn[u]]>=dr[dfn[v]]){
            if(dr[dfn[u]+1]>=dr[dfn[v]])x=dfn[u]+1;
            else{
                x=v;
                while(fa[top[x]]!=u)x=fa[top[x]];
                x=dfn[x];
            }
            //printf("%d\n",x);
            que[qtot++]=(QS){dfn[v]-1,1,x-1,-1,i};
            que[qtot++]=(QS){dr[dfn[v]],1,x-1,1,i};
            que[qtot++]=(QS){dr[x],dfn[v],dr[dfn[v]],-1,i};
            que[qtot++]=(QS){n,dfn[v],dr[dfn[v]],1,i};
        }
        else{
            //puts("Two subtree");
            que[qtot++]=(QS){dfn[v]-1,dfn[u],dr[dfn[u]],-1,i};
            que[qtot++]=(QS){dr[dfn[v]],dfn[u],dr[dfn[u]],1,i};
        }
    }

    sort(point,point+m),sort(que,que+qtot);
    for(int i=1,j=0,k=0;i<=n;++i){
        for(;point[j].x==i;++j)add(point[j].y);
        for(;que[k].x==i;++k)ans[que[k].i]+=que[k].coe*(query(que[k].yr)-query(que[k].yl-1));
    }

    for(int i=0;i<q;++i){
        if(ans[i])out(ans[i]);
        else *op++='0';
        *op++='\n';
    }
    fwrite(os,1,op-os,stdout);
}

总结：
①bit的常数确实比分块小。