凸包问题 —— Graham扫描法

申明，本文非笔者原创，原文转载自：http://blog.csdn.net/tmljs1988/article/details/7259331

凸包问题 —— Graham扫描法：

(1)找出点集p[]中最左下的点p1，把p1同点集中其他各点用线段连接，并计算这些线段与水平线的夹角，然后按夹角从小到大和按到p1的距离从近到远排序(夹角范围为 [0, 180)度，而且可以删除相同夹角且距离p1较近的点，保留最远点，这样可减少计算量。因为直线上的非端点不是凸包的极点，即如果p1,p2,p3在一条直线上，则只取凸点p1,p3。p2不在端点，故可以去掉)，得到新的节点序列p1,p2,...pn.依次连接这些点，得到一个多边形(已经逆时针，有所进展，但还需去掉不在凸包上的点)。此时p1是凸包的边界起点，p2和pn也是最终凸包的顶点，p[n+1]=p1(看成循环的)

(2)删除p3,p4,...p[n-1]中不在凸包上的点：

先把p1,p2,p3入栈S中，再依次循环(i = 3 -> n-1)，若栈顶的两个点和当前的点p[i]这三点连线的方向向顺时针方向偏转，表明是凹的，应删除，则栈顶元素出栈(要循环判断，即可能前面的仍是凹的，还需再出栈，举例如下图)，直到向逆时针方向偏转或者栈内只有2个元素了(p1p2)，就把当前点p[i]入栈。

最后栈中的元素就是最终凸包上的点。

分析：一般会从最左下点p1开始，根据所有点斜率中最小的求下一个凸包点pa，再根据pa的所有点斜率中最小的来求下一个凸包点pb，依此类推，但这样就是三重循环(p1,pa,pb是一次，p1,pa,pb内部的排序有2次，共三重循环)，这样效率不高(其实这就是卷包裹法，复杂度为O(NH),其中N是全部的点数 H是最终在凸包上的点数)。Graham扫描法只取所有点对p1的斜率，后面的点充分利用该斜率的信息，并作某些处理，进行改进，以提高效率。这是由多到少，由多个到1个的方法，并充分利用已知条件。

下面图例也可说明栈扫描的过程（摘自http://www.cnblogs.com/Booble/archive/2011/03/10/1980089.html#2065991）：

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以下截图代码摘自《ACM程序设计培训教程 吴昊 中国铁道出版社》 ：