【JZOJ】4212 我想大声告诉你

Description

这个游戏有 n 个人参加，每一轮随机选出一个还没有出局的人 x ，接着 x 会出局。 x 在出局之后剩下的人会受到一次攻击，每一个人在遭到攻击之后会有 p 的概率被淘汰。（注意遭到攻击淘汰的人是不能攻击剩下的人的）
在所有人都出局或淘汰之后，游戏结束。现在某人想要知道对于每一个 0≤k≤n−1 ，自己恰好在遭受 k 次攻击之后出局的概率是多少。
所有数值的运算在模258280327 的意义下进行。

Tips

请注意淘汰和出局的区别。
淘汰是不计入最终答案的。
原题完全没有说清楚。

Brute Force

对于60% 的数据， n≤100
对于100% 的数据， n≤2∗103 ， 1≤T≤5 ， 0≤x<y≤109

所以暴力也挺难想的。
考试时想出来了题意不清楚导致样例都过不了我就不吐槽了。

设状态 F[i][k] 为我活到剩下 i 个人，每个人都被攻击了 k 次的概率是多少。
假如我这轮死了（概率为 1i ），答案 k 就可以加上当前概率乘以 1i 了。【然后我可以不管了反正我出局了】
如果我没死，是其他的某个人死了。这就有可能会造成更多的伤亡。
假设有 j 个人因为攻击被淘汰了。
首先我是绝对不能成为淘汰或出局的人中的任何一个的。（ i−1−ji ）
接着 i−1 个人里面选出 j 个人一共有很多种可能。（ Cji−1 ）
要造成只死 j 个人是有一定难度的。（ (1−p)i−1−j∗pj ）
把这些都和当前 F[i][k] 乘起来就可以累加到 F[i−1−j][k]

这是 O(n3)

Analysis

我们转化一下问题。
我们把每个人出局或者淘汰的次序看成一个 1 to n 的排列。
这样我们可以得出所有人的出局或者淘汰顺序。
我们设 F[i][k] 表示当前做到第 i 个位置，此时 i+1→n 都受到了 k 次攻击的概率。
我们这个人到底是淘汰出去的呢还是正常出局的呢？
假如我们是是正常出局的，我的出局会对后面造成1次攻击，前提是我在承受 k−1 次攻击之后活了下来，正常出局。

F[i][k]+=F[i−1][k−1]∗(1−p)k−1

假如我们是被淘汰的，我的淘汰并不会对后面的人有影响，我不会造成攻击然后默默地死去= =，这就是我在这 k 次攻击中没能顺利活下来所付出的代价。

F[i][k]+=F[i−1][k]∗(1−(1−p)k)

那我们的答案 k 就是 1n∑n−1i=0F[i][k]∗(1−p)k ，表示我在 i 位置被正常出局的概率。
1n 是因为我有 1n 的几率站在这个排列中的某个确定的位置【就是位置 i 啦】

初始 F[0][0]=1

这样就是 O(n2)

Summary

我们要巧妙地利用概率的互不相干性，可以分别累加、相乘。
在处理复杂问题时，我们不一定要细分每一个状态，一个状态可能有多种可能，累加的时候分别讨论即可。
我们可以跳过中间的状态讨论，得出最后我们到底需要什么。从而精简状态，简化转移。