hihocder 1181 : 欧拉路·二

因为相连的两个数字总是相同的,不妨我们只写一次,那么这个例子可以写成:3-2-4-3-5-1。6个数字刚好有5个间隙,每个间隙两边的数字由恰好对应了一块骨牌。

如果我们将每一个数字看作一个点,每一块骨牌看作一条边。你觉得是怎么样的呢?

小Ho:以这个例子来说的话,就是:

hihocder 1181 : 欧拉路·二_第1张图片

要把所有的骨牌连起来,也就是把所有的边都走一次。咦,这不是欧拉路问题么!

小Hi:没错,这问题其实就是一个欧拉路的问题,不过和上一次不一样的在于,这一次我们要找出一条欧拉路径。

小Ho:那我们应该如何来找一条路径呢?

小Hi:我们还是借用一下上次的例子吧

hihocder 1181 : 欧拉路·二_第2张图片

使用我们上一次证明欧拉路判定的方法,我们在这个例子中找到了2条路径:

L1: 4-5-2-3-6-5
L2: 2-4-1-2

假设我们栈S,记录我们每一次查找路径时的结点顺序。当我们找到L1时,栈S内的情况为:

S: 4 5 2 3 6 5 [Top]

此时我们一步一步出栈并将这些边删除。当我们到节点2时,我们发现节点2刚好是L1与L2的公共节点。并且L2满足走过其他边之后回到了节点2。如果我们在这个地方将L2先走一遍,再继续走L1不就刚好走过了所有边么。

而且在上一次的证明中我们知道,除了L1之外,其他的路径L2、L3...一定都满足起点与终点为同一个点。所以从任意一个公共节点出发一定有一条路径回到这个节点。

由此我们得到了一个算法:

  1. 在原图中找一个L1路径

  2. 从L1的终点往回回溯,依次将每个点出栈。并检查当前点是否还有其他没有经过的边。若存在则以当前点为起点,查找L2,并对L2的节点同样用栈记录重复该算法。

  3. 当L1中的点全部出栈后,算法结束。

在这里我们再来一个有3层的例子:

hihocder 1181 : 欧拉路·二_第3张图片

在这个例子中:

L1: 1-2-6-5-1
L2: 2-3-7-2
L3: 3-4-8-3

第一步时我们将L1压入栈S,同时我们用一个数组Path来记录我们出栈的顺序:

S: [1 2 6 5 1]
Path:

然后出栈到节点2时我们发现了2有其他路径,于是我们把2的另一条路径加入:

S: 1 [2 3 7 2]
Path: 1 5 6

此时L2已经走完,然后再开始弹出元素,直到我们发现3有其他路径,同样压入栈:

S: 1 2 [3 4 8 3]
Path: 1 5 6 2 7 

之后依次弹出剩下的元素:

S: 
Path: 1 5 6 2 7 3 8 4 3 2 1

此时的Path就正好是我们需要的欧拉路径。

小Ho:原来这样就能求出欧拉路,真是挺巧妙的。

小Hi:而且这个算法在实现时也有很巧妙的方法。因为DFS本身就是一个入栈出栈的过程,所以我们直接利用DFS的性质来实现栈,其伪代码如下:

DFS(u):
	While (u存在未被删除的边e(u,v))
		删除边e(u,v)
		DFS(v)
	End
	PathSize ← PathSize + 1

Path[ PathSize ] ← u

要注意,在DFS的时候,如果欧拉图当中存在奇数度的顶点,那么一定要从该顶点出发,如果没有,则任一点都行。。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,edge[1001][1001],degree[1001];
int path[1001],len;

void dfs(int u)
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if(edge[u][i] > 0)
		{
			edge[u][i]--, edge[i][u]--;
			dfs(i);
		}
	}
	path[len++] = u;
}

int main()
{	
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		int u,v;
		memset(edge,0,sizeof(edge));
		memset(degree,0,sizeof(degree));
		for(int i = 1; i <= m; i++)
		{
			scanf("%d%d",&u,&v);
			edge[u][v]++, edge[v][u]++;
			degree[u]++, degree[v]++;
		}
		int k = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if(degree[i] % 2 == 1)
			{
				k = i;
				break;
			}
		}
		len = 0;
		dfs(k);
		for(int i = len-1; i >= 0; i--)
			printf("%d ",path[i]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}


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