8.1趣味编程之定理猜想
1>四方定理
数论中著名的“四方定理”讲的是：所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。
采用穷举法
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
void main() {
int number,i,j,k,l;
printf("Please enter a number=");
scanf("%d",&number); /*输入整数*/
number = (int)sqrt(number);
for(i=1;i<=number;i++) //利用穷举法遍历大于1的自然数
for(j=0;j<=i;j++)
for(k=0;k<=j;k++)
for(l=0;l<=k;l++)
if(number==i*i+j*j+k*k+l*l) /*若满足要求则输出结果*/ {
printf("%d=%d*%d+%d*%d+%d*%d+%d*%d\n",number,i,i,j,j,k,k,l,l);
exit(0);
}
***//可以缩小范围 减小一半 或者 i<number的平方根***
for(i=1;i<=number/2;i++) //利用穷举法遍历大于1的自然数
for(j=0;j<=i;j++)
for(k=0;k<=j;k++)
for(l=0;l<=k;l++)2>角谷猜想
递归法
//递归函数
int jiaogu(long long n){
if (n==1) {
printf("-->%lld",n);
return 1;
}
else
{
if (n%2) {
printf("-->%lld",n);
n=3*n+1;
return jiaogu(n);
}
else{
printf("-->%lld",n);
n/=2;
return jiaogu(n);
}
}
}
//验证角谷猜想
int main ( int argc, char **argv )
{
jiaogu(1189989898976767145);
return 0;
}
3> π的近似值
//蒙特卡洛求值法
1.1思想
有一个以（0,0）为中心的2*2的正方形，及这个正方形的半径为1的内接圆，取这个正方形范围内的一点，则这个点落入内接圆的概率为PI/4。
//π的近似值
#define N 300000
#import <time.h>
int main ( int argc, char **argv )
{
float x,y;
int c,d=0;
srand((unsigned)time(NULL));
while (c++<N) {
x=rand()%100;
y=rand()%100;
if (pow(x, 2)+pow(y, 2)<=10000) {
d++;
}
}
printf("pi==%f\n",4.0*d/N);
return 0;
}
#endif
另外另种求法
求π的近似值，一般有两个公式，如下所示：
公式①：
公式②：
题目1) 利用公式①计求π的近似值，要求累加到最后一项小于10^(-6)为止。
题目2) 根据公式②，用前100项之积计算π的值。
题目1)提供了一种解法，题目2)提供了两种解法，请看解析。
题目1)的代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
int main(){
float s=1;
float pi=0;
float i=1.0;
float n=1.0;
while(fabs(i)>=1e-6){
pi+=i;
n=n+2;
// 这里设计的很巧妙，每次正负号都不一样
s=-s;
i=s/n;
}
pi=4*pi;
printf("pi的值为：%.6f\n",pi);
return 0;
}
运行结果：
pi的值为：3.141594
上面的代码，先计算π/4的值，然后再乘以4，s=-s; 用的很巧妙，每次循环，取反，结果就是，这次是正号，下次就是负号，以此类推。
题目2)的代码[代码一]：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(){
float pi=1;
float n=1;
int j;
for(j=1;j<=100;j++,n++){
if(j%2==0){
pi*=(n/(n+1));
}else{
pi*=((n+1)/n);
}
}
pi=2*pi;
printf("pi的值为：%.7f\n",pi);
return 0;
}
运行结果：
pi的值为：3.1260781
此算法的主要思想：
观察分子数列：
a1=2 a2=2
a3=4 a4=4
a5=6 a6=6
......
由此得知，当n为偶数时，an=n；当n为奇数时，an=a(n+1)=n+1;
同理观察分子数列：
b1=1 b2=3
b3=3 b4=5
b5=5 b6=7
b7=7 b8=9.......
由此可知，当n为奇数时，bn=n，当n为偶数时，bn=b（n+1）。
综上可知，当n为奇数时，每次应乘以（n+1）/n。当n为偶数时，每次应乘以n/(n+1)。
题目2)的代码[代码二]：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(){
float term,result=1;
int n;
for(n=2;n<=100;n+=2){
term=(float)(n*n)/((n-1)*(n+1));
result*=term;
}
printf("pi的值为：%f\n", 2*result);
return 0;
}4>尼科彻斯定理
尼科彻斯定理可以叙述为：任何一个整数的立方都可以表示成一串连续的奇数的和。需要注意的是，这些奇数一定是连续的，如：1，3，5，7，9…
编写程序时，我们要思考的是，现计算输入数的立方，然后从1开始累计和，累计每次加2保证下个数也为奇数，如果累加和大于立方数时，跳出本次循环。进行下一次的尝试。当找到后，记录开始位置，结束位置。
#if 0
//尼克特斯定理(任何一个整数的立方都可以表示成一个任意的一连串的计数之和)
//求证1
int main ( int argc, char **argv )
{
long long cube;
int i,j,n,sum=0;
scanf("%d",&n);
cube=pow(n, 3);
for (i=1; i<cube; i+=2) {
for (j=i; j<cube; j+=2) {
sum+=j;
if (sum==cube) {
printf("%lld=%d+%d+...+%d\n",cube,i,i+2,j);
}
if (sum>cube) {
sum=0;
break;
}
}
}
return 0;
}
#endif
#if 0
//求证2
int main ( int argc, char **argv )
{
long long cube;
int i,n,sum=0;
scanf("%d",&n);
printf("%d*%d*%d=",n,n,n);
cube=pow(n, 3);
for (sum=0,i=0; i<n; i++) {
sum+=n*n-n+1+i*2;
printf("%d+",n*n-n+1+2*i);
}
if (sum==cube) {
printf("成立/n");
}else {
printf("不成立/n");
}
return 0;
}
#endif
5>回文数的形成
//回文数的形成
#define MAX 2147483647
//反序
long reverse (long int n) {
int sum=0;
while (n) {
int pi=(n%10);
sum=10*sum+pi;
n/=10;
}
return sum;
}
//判断回文
int paliddrome(long int n) {
if (n==reverse(n))
return 1;
else
return 0;
}
int main ( int argc, char **argv )
{
long int n,m;
scanf("%ld",&n);
int count=0;
while (!paliddrome((m=reverse(n))+n)) {
if (n>0&&m+n<n) {
printf("越界错误\n");
break;
}
else {
m=reverse(n);
printf("[%d]:%ld+%ld=%ld\n ",++count,n,m,m+n);
n+=m;
}
}
printf("[%d] :%ld+%ld=%ld",++count,n,m,m+n);
return 0;
}