[BZOJ 2330][SCOI 2011]糖果(差分约束系统)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2330

思路

刚开始看这题就想到用SPFA之类的求求最短路啥的，但是没有很清晰的思路，翻了题解才发现这是一个很裸的差分约束系统的题(不会差分约束系统的话比赛时就要GG啊)。

对于每个限制条件，在差分约束系统中我们都能把它们表示成 x−y<=a 的形式，从 y 向 x 连边权为 a 的边，而对于 x−y<a 的形式也可转化，因为题目中的数字都是整数，答案也必须是整数，因此 x−y<a 等价于 x−y<=a−1 。
于是我们就可以对题目数据中给出的每个限制条件建立一个图了，我们需要做的就是用SPFA求出这个图的最长路，但是这个最长路也是非常特殊的，对于任意点 i 而言，除了 i 以外的其他点都能作为以这个点作为终点的最长路的起点(为了做到这一点，可以建立超级源点，向每个点都连边，注意这些边的边权必须为1，因为要保证每个人都能得到糖果)，而答案则是每个点作为终点的最长路径的长度之和。

为什么是这样呢？注意到一条指向点 i 的路径就是形如 x+a1<=y+a2<=z+a3<=...<=i 的一串不等式，不等式的最左边的 x 就是某条终点为 i 的路径的起点，为了满足这个不等式且 i 尽量小，显然所有等号必须取等，又因为每个孩子都得得到糖果，因此初始的 x 必须是取最小值1， i 必须满足所有这样的等式，因此必须取超级源到 i 的最长路，这就是 i 得到的糖果个数，求和即可得到答案。

另外就是特判的问题，差分约束系统的特判要讲究技巧，由于上面我们要求的是最长路，因此若图中有正环就无解(若题目要求最短路，则有负环就无解)，这个可以通过SPFA实现，而在输入数据时，形如 x<y 这样的不等式，若 x=y 则无解，特判即可。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <queue>

#define MAXE 210000 //!!!!!!
#define MAXV 110000

using namespace std;

typedef long long int LL;

int n,k;

struct edge
{
    int u,v,w,next;
}edges[MAXE];

int head[MAXV],nCount=0;

void AddEdge(int U,int V,int W)
{
    edges[++nCount].u=U;
    edges[nCount].v=V;
    edges[nCount].w=W;
    edges[nCount].next=head[U];
    head[U]=nCount; //!!!!!
}

int dist[MAXV],vis[MAXE];
bool inQueue[MAXV];
queue<int>q;

bool SPFA()
{
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        inQueue[u]=false;
        for(int p=head[u];p!=-1;p=edges[p].next)
        {
            int v=edges[p].v;
            if(dist[u]+edges[p].w>dist[v])
            {
                dist[v]=dist[u]+edges[p].w;
                vis[p]++;
                if(vis[p]>n) return false; //某条边的访问次数大于n，则说明出现了正环，有正环就不存在最长路，无解
                if(!inQueue[v])
                {
                    inQueue[v]=true;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        int op,u,v;
        scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);
        if(op==1) //u==v
            AddEdge(u,v,0),AddEdge(v,u,0);
        else if(op==2) //u<v
        {
            if(u==v) //特判
            {
                printf("-1");
                return 0; //!!!!!!
            }
            AddEdge(u,v,1);
        }
        else if(op==3) //u>=v
            AddEdge(v,u,0);
        else if(op==4) //u>v
        {
            if(u==v) //特判
            {
                printf("-1");
                return 0;
            }
            AddEdge(v,u,1);
        }
        else //u<=v
            AddEdge(u,v,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dist[i]=1; //每个人必须都有糖果
        inQueue[i]=true;
        q.push(i);
    }
    LL ans=0;
    if(!SPFA())
    {
        printf("-1\n");
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=dist[i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}