【BZOJ 1027】 [JSOI2007]合金

1027: [JSOI2007]合金

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Description

某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

第一行两个整数m和n（m, n ≤ 500），分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m + n + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。

Output

一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

3 2
0.25 0.25 0.5
0 0.6 0.5
1 0 0
0.7 0.1 0.2
0.85 0.05 0.1

Sample Output

2

非常巧妙的几何题！

首先易证明，若原材料A和B能合成C的任意两项，那么第三项一定能合成。因此就可以去掉一维了。

先假设用户需要的材料是M，可以通过A,B两种材料合成。

那么M=kA+(1-k)B

k和1-k的和为1，想到了三点共线定理（高中数学向量知识。。）。

于是我们在坐标系中画出A,B两点（横纵坐标为他们的任意两个参数，要对应），那么M一定在线段AB上了！

接下来考虑M由三种原材料ABC合成，那么在坐标系中画出ABC三点，易得M在ABC构成的三角形中！

。

。

。

推广到M由多个原材料合成，那么M一定在这些原材料构成的凸包内部。

于是这道题就转化成了：

给定一些点，使用最少的已知点构成凸包，把这些点围起来。

计算几何题，求凸包+floyd求最小环即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#define eps 1e-10
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct raw
{
    double x,y;
}a[505],b[505];
int n,m,tail,h[505],d[505][505];
bool cmp(raw a,raw b)
{
    if (fabs(a.x-b.x)<eps) return a.y+eps<b.y;
    return a.x+eps<b.x;
}
double cross(raw a,raw b,raw c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
bool graham()
{
    tail=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        while (tail>=2&&cross(a[i],a[h[tail]],a[h[tail-1]])<eps)
            tail--;
        h[++tail]=i;
    }
    h[++tail]=m-1;
    for (int i=m-2;i;i--)
    {
        while (tail>=2&&cross(a[i],a[h[tail]],a[h[tail-1]])<eps)
            tail--;
        h[++tail]=i;
    }
    tail--;
    for (int i=1;i<=tail;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (cross(b[j],a[h[i]],a[h[i+1]])>eps) return false;
    return true;
}
bool finish()
{
    if (!n)
    {
        cout<<0<<endl;
        return true;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int j;
        for (j=1;j<=n;j++)
            if (fabs(a[i].x-b[j].x)>eps||fabs(a[i].y-b[j].y)>eps)
                break;
        if (j>n)
        {
            cout<<1<<endl;
            return true;
        }
    }
    sort(a+1,a+1+m,cmp);
    if (!graham()) 
    {
        cout<<-1<<endl;
        return true;
    }
    return false;
}
void Floyd()
{
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    for (int i=1;i<=tail;i++)
        for (int j=1;j<=tail;j++)
            if (i!=j)
            {
                int k;
                for (k=1;k<=n;k++)
                    if (cross(b[k],a[h[i]],a[h[j]])>eps) break;
                if (k>n) d[i][j]=1;
            }
    int ans=inf;
    for (int k=1;k<=tail;k++)
        for (int i=1;i<=tail;i++)
            for (int j=1;j<=tail;j++)
                if (d[i][k]+d[k][j]<d[i][j])
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
    for (int i=1;i<=tail;i++)
        ans=min(ans,d[i][i]);
    cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].y);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&b[i].y);
    if (finish()) return 0;
    Floyd();
    return 0;
}

感悟：

1.一开始wa了，要注意对eps的使用：与0比较相当于与eps比较。

2.这道题的关键在于对1,1-k的关系转化成向量问题！