莫比乌斯反演简单题

莫比乌斯函数

这里简述一下莫比乌斯函数：

若d=1 那么μ(d)=1
若d=p1p2…pr （r个不同质数，且次数都为一）μ(d)=(-1)^r
其余 μ(d)=0

即μ[i]=1表示i是偶数个不同素因子的乘积，μ[i]=-1表示i是奇数个不同素因子的乘积，μ[i]=0表示其他（即如果有相同素因子就是0）

而i==1时，规定μ[1] = 1。

莫比乌斯反演的性质

性质一：（莫比乌斯反演公式）

f(n)=∑(d|n)μ(d)F(n/d)

性质二：μ(n)是积性函数

性质三：设f是算术函数，它的和函数F(n)=∑(d|n)f(d)是积性函数，那么f也是积性函数。

HDU - 1695 - GCD

题目传送：GCD

题意：求[1,n],[1,m]中gcd为k的两个数的对数

思路：这里可以转化一下，也就是[1,n/k],[1,m/k]之间互质的数的个数，模板题

设F(n)为公约数为n的组数个数
f(n)为最大公约数为n的组数个数

F(n)=∑(n|d)f(d)

所以有：

f(n)=∑(n|d)μ(d/n)F(d)

不过这里需要注意去重，即去掉重复的那一部分的一半即可

AC 代码：

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <complex>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <utility>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define LL long long
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;

const int maxn = 1000005;

bool vis[maxn];
int prime[maxn];
int mu[maxn];
int tot;

void init() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    mu[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i < maxn; i ++) {
        if(!vis[i]) {
            prime[tot ++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j ++) {
            if(i * prime[j] >= maxn) break;
            vis[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

int main() {

    init();

    int T;
    int a, b, c, d, k;

    scanf("%d", &T);
    for(int cas = 1; cas <= T; cas ++) {
        scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);
        if(k == 0) {
            printf("Case %d: 0\n", cas);
            continue;
        }
        b /= k;
        d /= k;
        if(b > d) swap(b, d);
        LL ans = 0;
        for(int i = 1; i <= b; i ++) {
            ans += (LL)mu[i] * (b / i) * (d / i);
        }
        LL t = 0;
        for(int i = 1; i <= b; i ++) {
            t += (LL)mu[i] * (b / i) * (b / i);
        }

        ans -= t / 2;
        printf("Case %d: %I64d\n", cas, ans);

    }

    return 0;
}