POJ 1067 取石子游戏

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威佐夫博奕。

思路:我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:

1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1成立。

2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。

3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);
如果a = ak ,b > bk,那么,取走b – bk个物体,即变为奇异局势;
如果 a = ak , b < bk ,则此时必然会有一个奇异局势(aj,bj)满足bj-aj==b-a,那么在a,b中同时取走(ak-aj)个物体便可到达奇异局势。
如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可;
如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b – bj 即可(得到aj,bj);第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b – aj 即可(得到bj,aj,交换a,b便是奇异局势aj,bj)。


从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。

那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:

ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,…,n 方括号表示取整函数,ak <= bk)

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;
int a,b;

int main()
{
    while(cin >> a >> b)
    {
        int k = abs(a - b);
        double d = k * (1 + sqrt(5)) / 2;
        a = min(a,b);
        if(a == (int)d)
            cout << 0 << endl;
        else
            cout << 1 << endl;
    }
    return 0;
}



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