1004: [HNOI2008]Cards
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Description
小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).
Input
第一行输入 5 个整数:Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。接下来 m 行,每行描述
一种洗牌法,每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn,恰为 1 到 n 的一个排列,表示使用这种洗牌法,
第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替,且对每种
洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态。
Output
Sample Input
1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2
Sample Output
2
HINT
有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG,使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR,使用洗牌法312 一次 可得BRG 和GRB。
100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。
burnside引理+dp+扩展欧几里得。
burnside引理学习资料:算法合集之《pálya计数法的应用》
本题的描述中处处体现着他是一道群论题:
输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替
体现了群的封闭性
对每种洗牌法,都存在一种洗牌法使得能回到原状态
体现了群的逆元
因此洗牌法则满足置换的性质,可以用burnside引理。
公式为![](http://img.e-com-net.com/image/info5/e0f1d9f702904d7f834b0d0d2c64b6c4.jpg)
其中 D(aj)表示在第j种置换下,置换前后不变的有几种染色法。
对于每一种置换,都可以表示为几个循环节的乘积,
那么,要让置换之后颜色和置换之前完全一样,就要让每一个循环节染成相同的颜色。
所以问题变成了求三种颜色给k段染色能有几种染色方案。
dp转移方程为:
f[i][R][B][G]=f[i-1][R-num[i]][B][G]+f[i-1][R][B-num[i]][G]+f[i-1][R][B][G-num[i]]
其中i表示第i个循环节,num[i]表示循环节的长度。
R、B、G分别表示使用R个红色,B个蓝色,G个绿色。
因为burnside公式中要*1/m,所以先用扩展欧几里得求m的逆元,乘上逆元就是答案。
注意:
一共有m+1种置换!!
除去题目中给出的m中之外还有一种全部保持不变的置换,因此有m+1种!!
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
int d,x,y,v[100],f[100][25][25][25],n,a[100],now,num[100],P,ni,r,b,g,m;
void Dfs(int x,int k)
{
v[x]=1;
num[k]++;
if (!v[a[x]]) Dfs(a[x],k);
return;
}
void Exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if (!b)
{
d=a;x=1;y=0;
}
else
{
Exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}
int inv(int a,int n)
{
Exgcd(a,n,d,x,y);
return (x+n)%n;
}
int dp()
{
for (int i=1;i<=now;i++)
for (int R=0;R<=r;R++)
for (int B=0;B<=b;B++)
for (int G=0;G<=g;G++)
{
f[i][R][B][G]=0;
if (R-num[i]>=0) f[i][R][B][G]=(f[i][R][B][G]+f[i-1][R-num[i]][B][G])%P;
if (B-num[i]>=0) f[i][R][B][G]=(f[i][R][B][G]+f[i-1][R][B-num[i]][G])%P;
if (G-num[i]>=0) f[i][R][B][G]=(f[i][R][B][G]+f[i-1][R][B][G-num[i]])%P;
}
return (f[now][r][b][g]+P)%P;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d%d",&r,&b,&g,&m,&P);
n=r+b+g;
ni=inv(m+1,P);
int ans=0;
for (int R=0;R<=r;R++)
for (int B=0;B<=b;B++)
for (int G=0;G<=g;G++)
f[0][R][B][G]=1;
now=n;
for (int i=1;i<=n;i++) //位置全都不变的置换
num[i]=1;
ans=(ans+dp()+P)%P;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
for (int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&a[j]),v[j]=0,num[j]=0;
now=0;
for (int j=1;j<=n;j++)
if (!v[j]) now++,Dfs(j,now);
ans=(ans+dp())%P;
}
printf("%d\n",(ans*ni+P)%P);
return 0;
}
感悟:
现在对于burnside引理只是知道公式,但还不会证明。。以后再学学。。