求哈夫曼树的带权路径长

求哈夫曼树的带权路径长

题目描述：

哈夫曼树，第一行输入一个数n，表示叶结点的个数。需要用这些叶结点生成哈夫曼树，根据哈夫曼树的概念，这些结点有权值，即weight，题目需要输出所有结点的值与权值的乘积之和。

输入：

输入有多组数据。
每组第一行输入一个数n，接着输入n个叶节点（叶节点权值不超过100，2<=n<=1000）。

输出：

输出权值。

样例输入：

5 

1 2 2 5 9

样例输出：

37

来源：

2010年北京邮电大学计算机研究生机试真题

题目解析：由于这是一道机试题目，不可能让你在短短的时间内构造一颗二叉树然后再求解，而且查阅一般的资料（算法导论等）,都很少有构造最优二叉树(也即是哈夫曼树)的方法。因此只能根据构造哈夫曼树的原理来计算这个带权路径长度值。

首先，有必要了解一下哈夫曼树的一些基本概念:

1、 路径长度

从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称做路径长度。

图1  从根节点到D节点的路径长度为4

1、 树的路径长度

路径长度就是从树根到每一结点的路径长度之和。

图2 树的路径长度为1+1+2+2+3+3+4+4=20

1、 哈夫曼树:

带权路径长度WPL（Weighted Path Length）最小的二叉树，也称为最优二又树.

例: 上图的WPL=1*5 + 2*15 + 3*40 + 4*30 + 4*10= 315

 

先了解通过刚才的步骤，我们可以得出构造哈夫曼树的算法描述。

1、根据给定的n个权值{w[1],w[2],…,w[n]}构成n棵二叉树的集合F={T[1],T[2],…T[n]}，    其中每棵二叉树T[i];中只有一个带权为w[i]的根结点，其左右子树均为空。

2、在F中选取两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的.二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和，

3、在F中删除这两棵树，同时将新得到的二义树加入F中。

4重复2和3步骤，直到F只含一棵树为止。这棵树便是哈夫曼树.

结合例题说明一下这个算法

图3 哈夫曼树的构造过程示意图

图4 最终结果

那么可以由上面的哈夫曼树计算出最小带权路径长度

WPL = 1*9 + 2*5 + 3*2 + 4*1 + 4*2 =37

 

另外还可以有另外一个方法，结合算法描述仔细观察发现最小带权路径长度为非叶子结点的和 ，即

WPL= 19 + 10 +5 +3=37

至于算法的正确性，一下子也想不到什么好的办法来证明，不过应该是可以逻辑推导过来的。

那么要实现这段程序，由上面的算法描述图我们已经知道差不多了，主要分为三步：

一、排序,直到数组中只有一个数则退出

二、最小两个数加起来，即为非叶子节点，累加到累加器中

三、把最小两个数加起来作为一个新的值保存在数组中，去掉最小两个值，跳回第一步

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int cmp(const void *a,const void *b)
{
	return *(int *)a-*(int *)b;
}
int main(void)
{
	int n,W[1001];
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d",&W[i]);
		int Result=0;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			qsort(W+i-1,n-i+2,sizeof(W[0]),cmp);
			Result+=W[i]+W[i-1];
			W[i]=W[i]+W[i-1];
		}
		printf("%d\n",Result);
	}
	return 0;
}