【Tinsen】A1493. 城市规划【简单无向连通图个数——NTT】

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前言：

今天很不在状态= =，NTT里面竟然同一个地方写错两次……而且脑补的时候明显比平时迟钝了很多……

题目分析：

首先我们可以轻易知道N个点能构成的无向图的个数： 2C2n ，令其等于 d(N) 。然后假设我们固定一个点，枚举这个点所在连通块的大小，这样我们得到N个点的无向连通图公式：
dp[n]=d(n)−∑n−2i=0Cin−1dp(i+1)⋅d(n−i−1)
=d(n)−∑n−2i=0(n−1)!i!(n−i−1)!d(i+1)⋅d(n−i−1)
=d(n)−∑n−2i=0(n−1)!dp(i+1)i!⋅d(n−i−1)(n−i−1)!

可以发现右边是一个卷积公式，然后我们可以用 FFT 去优化。同时我们需要使用 CDQ 分治，先递归处理cdq(l,m)的部分，然后将(l,m)的贡献传递给(m+1,r)，然后我们递归计算cdq(m+1,r)，由于出题人好心的给了费马素数，那么我们就使用 NTT 来保证精度。

PS：出题人数据打错了……N=4时ans=38。

my  code:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std ;

typedef long long LL ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )
#define cpy( a , x ) memcpy ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 131072 ;
const int mod = 1004535809 ;
const int g = 3 ;

int n ;
int d[MAXN] ;
int dp[MAXN] ;
int f[MAXN] ;
int invf[MAXN] ;
int x1[MAXN] , x2[MAXN] ;

LL power ( LL a , LL b ) {
    LL res = 1 , tmp = a ;
    while ( b ) {
        if ( b & 1 ) res = res * tmp % mod ;
        tmp = tmp * tmp % mod ;
        b >>= 1 ;
    }
    return res ;
}

void NTT ( int y[] , int n , int rev ) {
    for ( int i = 1 , j , k , t ; i < n ; ++ i ) {
        for ( j = 0 , t = i , k = n >> 1 ; k ; t >>= 1 , k >>= 1 ) {
            j = j << 1 | t & 1 ;
        }
        if ( i < j ) swap ( y[i] , y[j] ) ;
    }
    for ( int s = 2 , ds = 1 ; s <= n ; ds = s , s <<= 1 ) {
        LL wn = power ( g , ( mod - 1 ) / s ) ;
        if ( rev < 0 ) wn = power ( wn , mod - 2 ) ;
        for ( int k = 0 ; k < n ; k += s ) {
            LL w = 1 , t ;
            for ( int i = k ; i < k + ds ; ++ i , w = w * wn % mod ) {
                y[i + ds] = ( y[i] - ( t = w * y[i + ds] % mod ) + mod ) % mod ;
                y[i] = ( y[i] + t ) % mod ;
            }
        }
    }
    if ( rev < 0 ) {
        LL invn = power ( n , mod - 2 ) ;
        for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
            y[i] = y[i] * invn % mod ;
        }
    }
}

void cdq ( int l , int r ) {
    if ( l == r ) return ;
    int m = ( l + r ) >> 1 ;
    cdq ( l , m ) ;
    int n1 = 1 ;
    while ( n1 <= r - l ) n1 <<= 1 ;
    for ( int i = 0 ; i < n1 ; ++ i ) {
        x1[i] = i + l <= m ? ( LL ) dp[i + l] * invf[i + l - 1] % mod : 0 ;
        x2[i] = i + l <= r ? ( LL ) invf[i + 1] * d[i + 1] % mod : 0 ;
    }
    NTT ( x1 , n1 , 1 ) ;
    NTT ( x2 , n1 , 1 ) ;
    for ( int i = 0 ; i < n1 ; ++ i ) {
        x1[i] = ( LL ) x1[i] * x2[i] % mod ;
    }
    NTT ( x1 , n1 , -1 ) ;
    for ( int i = m + 1 ; i <= r ; ++ i ) {
        dp[i] = ( dp[i] - ( LL ) f[i - 1] * x1[i - l - 1] % mod + mod ) % mod ;
    }
    cdq ( m + 1 , r ) ;
}

void preprocess () {
    invf[0] = f[0] = 1 ;
    for ( int i = 1 ; i <= 130000 ; ++ i ) {
        d[i] = power ( 2 , ( LL ) i * ( i - 1 ) / 2 ) ;
        dp[i] = d[i] ;
        f[i] = ( LL ) f[i - 1] * i % mod ;
        invf[i] = power ( f[i] , mod - 2 ) ;
    }
    d[1] = 1 ;
    cdq ( 1 , 130000 ) ;
}

int main () {
    preprocess () ;
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) printf ( "%d\n" , dp[n] ) ;
    return 0 ;
}