【LeetCode从零单刷】Container With Most Water

题目：

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container.

解答：

暴力求解，不用说，超时不能AC：

class Solution {
public:
    int area(int i, int j, int ai, int aj)
    {
        int length = (i - j > 0) ? (i - j) : (j - i);
        int width  = (ai > aj) ? aj : ai;
        return (length * width);
    }
    
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int size = height.size();
        int ans = -1;
        for(int i=1; i <= size; i++)
        {
            for(int j=1; j <= size; j++)
            {
                int tmp = area(i, j, height[i-1], height[j-1]);
                if(tmp > ans) ans = tmp;
            }
        }
        return ans;
    }
};

进一步考虑一下， 是不是 O(N^2) 中每个情况都要考虑并检测，能不能省去？

如果有以下情况：某个container，左侧a处挡板高度为 h_a，右侧b处挡板高度为 h_b（h_a > h_b）。此时，固定b处挡板不动，移动a处挡板到 a~b 区间中任何一处都没有意义。因为：

1. 如果移到的挡板高度高于h_b，则 container 的高度还是由更低的 h_b 决定。同时 container 的宽度变窄；
2. 如果移到的挡板高度低于h_b，则 container 的高度变得更低，同时 container 的宽度还变窄了

此时， 唯一可能在区间内达到更大面积的方法，就是 拉高短板。以求通过提高短板的高度从而提高整个 container 的高度，弥补宽度的缩小。

这里还有个问题，如果我的最优值，不在  a~b 区间内怎么办？这样区间内的寻找就无意义了。因此，我们要限制初始区间即为整个区间。然后，每一个的最优搜索，才可以保证最终结果的最优化，不会因为左右分别的移动而遗漏最优值。

class Solution {
public:
    int area(int i, int j, int ai, int aj)
    {
        int length = (i - j > 0) ? (i - j) : (j - i);
        int width  = (ai > aj) ? aj : ai;
        return (length * width);
    }
    
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int size = height.size();
        int left = 0, right = size - 1;
        int ans  = area(left, right, height[left], height[right]);
        while(left < right)
        {
            if(height[left] < height[right])    left++;
            else                                right--;
            int tmp = area(left, right, height[left], height[right]);
            ans = (ans > tmp)? ans: tmp;
        }
        return ans;
    }
};

算法的正确性证明，可以用反证法（ 传送门）。

也可以这么想：下一个更大的面积，都是从当前状态转变的。而当前状态是 去除不可能情况之后逐步 遍历得到的，所以不会比之前状态的面积更小，只会更大。所以最终得到的，一定是最大值。