soj 2785 Binary Partitions (构造类似完全背包)

@(K ACMer)

题意:
给你一个数n,求它的二进制表达有多少种?
(注意两个二进制表达的元素是相同的,则认为他们是相同的,与顺序无关)

我们假设n等于5,来观察一下暴力的解法.
首先5个1肯定是最简单地表达方式:

1+1+1+1+1

它的种数显然为1.
然后最右边的两个1可以合并为2,即:

1+1+1+2

然后:

1+2+2

然后:

1+4

这样我们可以构造一个类似完全背包的解法出来,选取物品顺序j为

20,21,22....2i(2i<=maxn)

定义dp[i]为当前i的i2进制表达的总数,有转移方程:

dp[i]+=dp[i−j]

这样每次选择一个j的时候dp[i-j] 已经包含了它有j的种数,我们只需要在最后加一个j就是了.(如果这句话较难理解,可以直接模拟一遍5的dp过程加以理解).
这里的dp其实体现在每次增加一个二进制数的时候,可以由小的数到大的数来加,并且小的数的结果可以直接被大的数利用,这里是一种记忆的思想,而这个二进制数可以想选最多个,也是一中完全背包的思想.

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = (1e6 + 9) * 2, INF = 0x3fffffff, mod = 1e6;
typedef long long  ll;
int dp[maxn];
int a[maxn];
#define max(x, y) (x) > (y) ? (x) : (y)

int main(void) {
    int n, maxs = -INF;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        maxs = max(a[i], maxs);
    }
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= maxs; i <<= 1) {
        for (int j = i; j <= maxs; j++) {
            dp[j] += dp[j - i] % mod;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d\n", dp[a[i]] % mod);
    }
    return 0;
}