[BZOJ 1855][SCOI 2010]股票交易(单调队列优化DP)

题目链接

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1855

思路

很显然是个DP题，比较容易想到下面的DP做法：
用 f[i][j] 表示第 i 天，手上有 j 个股票的最大获利。显然最终的答案为 max{f[i][0]} (显然以某天交易结束后收手不干，肯定是手上没有股票是最优的)，DP初始化如下：

f(x)={f[i][j]=max{f[i−1][j],−apj},j<=as(第i天没买或全是这天买的)f[i][j]=f[i−1][j],j>as(手上股票超出了一次购买的限制，只能是第i天没买)

而DP方程则为(以转移情况为购入股票举例)

f[i][j]=max{f[i−w−1][k]+ap(j−k)}

这样做的正确性是显然的， f[i][j] 一定是前 i 天里手持 j 股的最优解，这样一来我们就节省了一维时间复杂度，但是还是会TLE。

变化一下这个DP方程：

f[i][j]=max{f[i−w−1][k]−apk+apj}

一般可以用单调队列优化的DP都能满足形如 f[x]=max(min){f[k]}+g[x] 的形式，那么我们可以把这里的 f[i−w−1][k] 看作是上面的 f[k] ， apj 看作是上面的 g[x] ，于是就可以从小到大枚举 j ，并用单调队列维护二元组 (k,f[i−w−1][k]) ，并保证队首的 f[i−w−1][k] 是最大的，DP到某个 j 时，先把队首所有不合法的 f[i−w−1][k] 全部弹出，然后用第一个合法的队首去更新 f[i][j] ，然后将这时的 f[i−w−1][j] 放入队尾，并同时维护队列单调性。

而卖出的做法也非常相似，在这里就不再赘述了

代码

刚开始数组开大了，直接卡成TLE。。。郁闷。。。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 2100
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

pair<int,int>q[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];
int T,maxP,w;

int main()
{
    int ans=-INF;
    memset(f,-INF,sizeof(f));
    scanf("%d%d%d",&T,&maxP,&w);
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        int ap,bp,as,bs;
        scanf("%d%d%d%d",&ap,&bp,&as,&bs);
        for(int j=0;j<=as;j++) f[i][j]=-ap*j; //初始化f[i][j]=-ap*j(光买了股票)
        for(int j=0;j<=maxP;j++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]); //初始化什么都没买的情况更新f数组
        int k=i-w-1; //单调队列里保存的就是(j,f[w][j]+ap[i]*j(-bp[i]*j))这个二元组
        if(k>=0)
        {
            int h=0,t=0;
            for(int j=0;j<=maxP;j++)
            {
                //买入股票
                while(h<t&&q[h].first<j-as) h++;
                while(h<t&&q[t-1].second<=f[k][j]+ap*j) t--;
                q[t++]=make_pair(j,f[k][j]+ap*j);
                if(h<t) f[i][j]=max(f[i][j],q[h].second-ap*j);
            }
            h=0,t=0;
            for(int j=maxP;j>=0;j--)
            {
                //卖出股票
                while(h<t&&q[h].first>j+bs) h++; //!!!!!
                while(h<t&&q[t-1].second<=f[k][j]+bp*j) t--;
                q[t++]=make_pair(j,f[k][j]+bp*j);
                if(h<t) f[i][j]=max(f[i][j],q[h].second-bp*j);
            }
        }
        ans=max(ans,f[i][0]); //显然以某天交易结束后收手不干，肯定是手上没有股票是最优的
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}