[POI 2012]Prefixuffix(字符串Hash)

题目链接

http://main.edu.pl/en/archive/oi/19/pre

题目大意

给出一个长度为 n 的字符串，在串中找出一对长度为 L(2L≤n) 的前缀和后缀，使得这两个前缀和后缀是循环同构的，求 Lmax

思路

最终找到的一对合法前缀后缀一定是像这样的形式，分成两部分(红色段，绿色段)，前缀里的红色段和后缀里的红色段相同，前缀里的绿色段和后缀里的绿色段相同。

我们可以枚举前缀里绿色段的最后一个字符下标 i ，假如我们能每次在 O(1) 时间得到红色段的长度就好了，不妨设前缀里 [1,i−1] 部分是绿色段， [i,i+F[i]−1] 部分是红色段（红色段长度是 F[i] ）。这样我们每次枚举完 i 后，用 i+F[i]−1 更新答案。

这里有个很有趣的结论： F[i−1]≤F[i]+2
可以用反证法证明。假设 F[i−1]>F[i]+2 ，画出下面的两个序列，分别代表了 F[i] 和 F[i−1] 的情况。

加入了蓝框里的字符后，红色区域变大了很多，我们把下面的 F[i−1] 情况的序列拆成左右两半，拼起来看，则除去了左右蓝框以外的中间的红色部分的长度就应该是 F[i] ，然而这里的 F[i] 比实际的 F[i] 大，矛盾了，证毕。

利用上述 F[] 存在单调性的结论，我们可以以 O(n) 时间快速求出所有的 F[] 。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 1100000
#define MAXP 1000000007
#define MOD 999911659

using namespace std;

typedef long long int LL;

int hash[MAXN],pow[MAXN],a[MAXN],f[MAXN],n;
char s[MAXN];

int gethash(int L,int R)
{
    return (((LL)hash[R]-(LL)pow[R-L+1]*(LL)hash[L-1]%(LL)MOD)%MOD+MOD)%MOD;
}

int main()
{
    int ans=0;
    scanf("%d",&n);
    pow[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        pow[i]=(LL)pow[i-1]*(LL)MAXP%(LL)MOD;
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        hash[i]=((LL)hash[i-1]*(LL)MAXP+(LL)a[i])%(LL)MOD;
    for(int i=n/2;i>=1;i--)
    {
        f[i]=min(f[i+1]+2,n/2-i+1);
        while(f[i]>0&&gethash(i,i+f[i]-1)!=gethash(n-i+1-f[i]+1,n-i+1)) f[i]--;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];
    if(f[1]) ans=max(ans,f[1]);
    for(int i=2;i<=n/2;i++)
        if(gethash(1,i-1)==gethash(n-i+2,n)&&a[i-1]-a[0]==a[n]-a[n-i+1])
            ans=max(ans,i+f[i]-1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}