单源最短路径Dijsktra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

#include<iostream>

using namespace std;

#define MAXINT 1000
#define MAXNUM 10

int dist[MAXNUM];
int father[MAXNUM];  //依附的父节点
typedef int Graph[MAXNUM][MAXNUM];
void Dijkstra(Graph G,int v0)
{
	bool s[MAXNUM]; //判断该点是否存入s集合中
	int n = MAXNUM;
	int sum_dist =0;
	for(int i =0; i<n ;i++)
	{
		dist[i] = G[v0][i];
		s[i] = 0;
		if(dist[i]==MAXINT)
			father[i]=-1;
		else
			father[i]=v0;
	}
	dist[v0]=0;
	s[v0] = 1;
	for(int i=1; i<n;i++)
	{
		int mindist = MAXINT;
		int u = v0;          // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if(!s[j]&&dist[j]<mindist)  // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
			{
				u = j;
				mindist = dist[j];
			}
		}
		s[u] = 1;
		for(int j=0; j<n;j++)
		{
			if(!s[j]&&G[u][j]< MAXINT)
			{
				if(dist[u]+G[u][j]<dist[j])
				{
					dist[j] = dist[u] + G[u][j];
					father[j] = u;
				}
			}
			
		}
		if(s[u])
		cout<<u+1<<endl;
	}
}

int main()
{
	FILE *fr;
	int i,j,weight;
	fr = fopen("prim.txt","r");
	Graph myG;
	for(i=0; i< MAXNUM;i++)
	{
		for(j=0; j< MAXNUM;j++)
		{
			myG[i][j] = MAXINT;
		}
	}
	if(!fr)
	{
		cout<<"File open fail"<<endl;
		exit(1);
	}
	while(fscanf(fr,"%d%d%d",&i,&j,&weight)!=EOF)
	{
		myG[i-1][j-1]= weight;
		myG[j-1][i-1]= weight;
	}
	Dijkstra(myG,0);
	return 0;
}