[BZOJ 4409] [Usaco2016 Feb]Circular barn

觉得应该正经的写一写做法了 TAT 不能总是玄学啊显然啊意会啊什么的。

为了方便理解…我们不妨认为题意是给牛选k个集合点然后牛逆时针走到这k个点上。

首先是破环成链，嘛，相信大家都会。

然后这一步处理的手段和BZOJ 1096 有点儿像［虽然还没有写那道题］， 我们令a[i]表示点i的牛数，sum[i] 表示牛数的前缀和，然后令 b[i] 表示 1 ~ n 的牛全部移动到1的代价。这样做以后有什么好处呢？我们发现 这时候 i ~ j 的牛全部移动到 i 点的代价就是 b[i] - b[j - 1] - (sum[i] - sum[j - 1]) * j ;
然后就好办了，我们枚举环的起始点为 p ，然后枚举正在给牛选第 L 个集合点， 推一推状态转移方程发现是可以斜率优化的，所以我们按顺序每计算一个f[ L ][ i ]; 把 f[L - 1][i] 插入到凸包里。 最后用 f[k - 1][p + n - 1] 更新答案即可；

时间复杂度 O(n ^ 2 * k * log n )

［沙茶不会用markdown…
［A了之后发现斜率也是单调的可以优化成n ^ 2 * k 的但是不管了
［作者编写程序时脑子一片混乱，边界情况可能和上文不太一样….

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline void read(int &x){x=0;char c;while((c=getchar())<'0'||c>'9');for(x=c-'0';(c=getchar())>='0'&&c<='9';x=x*10+c-'0');}
const LL inf = 1e16;
const int N = 2010 ;

struct Point 
{
    LL x, y;

    Point() {}
    Point(LL x, LL y) : x(x), y(y) {}

    inline Point operator - (const Point & b) const
    {
        return Point(x - b.x, y - b.y);
    }
    inline LL operator ^ (const Point & b) const 
    {
        return x * b.y - y * b.x;
    }
};

struct Stack
{
    Point s[N];
    int top;

    void insert(Point u)
    {
        if (u.y <= s[top].y) return;
        while (top > 1 && ((s[top] - s[top - 1]) ^ (u - s[top])) <= 0) top--;
        s[++top] = u;
    }

#define calc(p) ((s[(p)].y - s[(p)].x * x))
    LL query(LL x)
    {
        int l = 1, r = top;
        while (l < r)
        {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (calc(mid) > calc(mid + 1)) l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        return calc(l);
    }
#undef calc
}T;

LL sum[N], b[N], f[2][N];
int a[N], n, k;

int main()
{
    read(n), read(k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        read(a[i]), a[i + n] = a[i];
    for (int i = 1; i <= n + n; ++i)
    {
        sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        b[i] = b[i - 1] + a[i] * (i - 1);
    }
    LL ret = inf;
    for (int i = 0, ed = n; i < n; ++i, ++ed)
    {
        for (int j = i + 1; j <= ed; ++j)
            f[0][j] = b[j] - b[i] - (sum[j] - sum[i]) * i;
        int t = 1;
        for (int l = 1; l < k; ++l)
        {
            T.s[T.top = 0] = Point(i + l, f[t ^ 1][i + l] - b[i + l] + sum[i + l] * (i + l));
            for (int j = i + l + 1; j <= ed; ++j)
            {
                f[t][j] = T.query(sum[j]) + b[j];
                T.insert(Point(j, f[t ^ 1][j] - b[j] + sum[j] * j));
            }
            t ^= 1;
        }
        ret = min(ret, f[t ^ 1][ed]);
    }
    printf("%lld\n", ret);
    return 0;
}