关于二分图问题的一些知识

二分图相关问题：

1、 二分图最大匹配   （定义：匹配是二分图中边的集合，且集合中的任意两条边没有公共点，包含边数最多的匹配就是最大匹配）

2、 二分图最小覆盖   （寻找一个点集，是的图中每一个边至少有一个点在该边上,即用最少的顶点去覆盖所有的边)

3、 二分图最大独立集 (寻找一个点集，其中任意两点在图中无对应边)

4、 二分图最小路径覆盖  （用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图的所有顶点）

5、 二分图最优匹配

6、 稳定婚姻问题

二分图定义及判定：

定义：二分图中，顶点可以分为两个集合 X 和 Y ，每一条边的两个顶点都分别位于 X 和 Y 集合中

判定：利用 BFS 或者 DFS 进行黑白染色，共享一边的两点异色，检查是否存在矛盾

图G为二分图的充要条件是图中不含奇环

二分图的最大匹配可以用匈牙利算法解决：

int G[maxn][maxn];
int mark[maxn];
bool visit[maxn];
int n,m;
int path(int u)
{
	int i;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		if(G[u][i] && !visit[i])
		{
			visit[i]=true;
			if(mark[i]==-1 || path(mark[i]))
			{
				mark[i]=u;
				return 1;	
			}	
		}	
	}	
	return 0;
}
int Max_Match()
{
	int i,ans;
	memset(mark,-1,sizeof(mark));
	ans=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(visit,false,sizeof(visit));
		if(path(i))
			ans++;	
	}	
	return ans;
}

 1、二 分图的最小覆盖 = 二分图的最大匹配

 2、二分图的最大独立集=顶点数-最大匹配

 3、二分图的最小路径覆盖解法：每个顶点分为两个，分别在X集合和Y集合中，如果存在有向边(a,b)，对应在二分图中有（Xa,Yb），最小路径数=节点数-最大匹配