【2013-10-3前】Matlab笔记1

前言

之前发过一篇文章BMP格式，主要是为了说明，在你用第三方软件，或API对图片进行操作时，其实首先要对图片的文件头进行解析，只是第三方软件或API已经帮你处理好了，你只需要关注图像处理的算法本身就行了！

Matlab是个不错的工具，可以快速有效的测试算法，但其本身只是个工具，真正重要的还是算法。本文主要是对参考文献做的笔记，方便自己查看。

第一部分  基础篇：

第一章：数据类型

double：

a=3+2.3i

ceil--向正无穷取整、fix--向零取整、floor--向负无穷取整、round--四舍五入

字符串：

s='Hdu'

eval：执行字符串表示的表达式 ex：a=1;b=2;eval('c=a+b');

deblank：去掉字符串末尾的所有空格 ex：length(dablank('HDU       '));

findstr：长字符中查找一个短字符 ex：findstr('How much','mu');

isstr、isletter、isspace、lower、upper、strcat、strvcat(竖直连接)、strcmp、strcmp(忽略大小写)、strjust(调整字符串矩阵对齐方式)

strmatch(寻找和目标字符串匹配的行)、strncmp(比较字符串前n个字符是否相同)、strrep(字符串查找和替换功能)、strtok(找出字符串第一个空格符前的字符串)

texlabel(把字符串转化成Tex软件的格式)、bin2dec_df(要求输入的参数为字符串)、bitget、bitset、bitand、bitor、bitxor

cell结构

A={'ABC'.11,'Zhang'};

cellplot(可画出一个图形来示意cell)、iscell

结构性

St.D=magic(3);St.s='ABC';St.c={'aa',1};

struct(建立一个结构体)、fieldnames(得到结构体中域的名称)、getfield(得到结构体中各域的内容)、rmfield(从结构体中删除一个域)

whos(查看变量的属性)、single(转为单精度)

cell-->char,cellstr<--字符串、字符串-->struct,char<--结构体、结构体-->struct2cell,cell2struct<--cell结构

变量

第二章：向量和矩阵运算

向量

v=1:0.1:2;

linspace(生成两个数之间的等间隔向量,默认个数100) ex：linspace(1,2); linspace(1,2,300); 、logspace(对数向量)、randperm(可产生1到N的随即自然数序列)、

isvector、length、cross(向量的外积)、dot(向量的内积)、detrend(用快速FFT去除向量中的线性趋势项)、wrev(反转向量顺序)、sort(排序)

集合

intersect(计算集合的交集)、ismember(集合中元素判断)、setdiff(两集合差集)、setxor(集合异或)、union(集合并集)、unique(去除集合中的重复元素)

矩阵

A=[];空矩阵、ones全1、zeros全0、eye单位矩阵、diag对角线矩阵、tril下三角、triu上三角、compan向量的伴随矩阵、hadamard哈达马矩阵、hankel汉克尔矩阵、hilb希尔伯特矩阵、invhilb逆希尔伯特矩阵、magic魔方矩阵、pascal帕斯卡矩阵、toeplitz托普利兹矩阵、wilkinson威尔金森特征值测试矩阵、vander范德蒙矩阵

size(计算行列数)、numel(矩阵所有元素)、ind2sub，sub2ind(不同索引格式的转换)、reshap(改变行列数)、cat(连接两个矩阵)、repmat(复制矩阵)、transpose(转置)、rot90(旋转90度的倍数)、fliplr，flipud(矩阵左右、上下翻转)、wshift，circshift(矩阵元素水平，竖直移动)、矩阵删除用---[]

eig(求矩阵本征值和本征向量)、det(矩阵行列式)、rank(矩阵的秩)

高维数组

ndims(计算数组维度)、squeeze(删除单独的维数)、shiftdim(移动数组维的顺序)、permute(改变数组的维数)、ndgrid(计算高维函数的离散形式)

第三章：表达式

ex：计算二元函数f(x,y)=xy+x^2+y^2(x,y定义在[-3,3]区间内)离散情况下的值

[x,y]=meshgrid(linspace(-3,3,200));f=x.*y+x.^2+y.^2;

Kronecker张量积，kron(x,y)

all(查找矩阵中非零元素的位置)、any(矩阵中列向量是否为0)、exist(检测变量或文件是否存在)、find(得到非零元素位置及大小关系)、isfinite(判断矩阵元素是否为有限值)、isequal(多个变量是否相等)、isnumeric(是否为数据型变量)、strel(创建用于腐蚀或膨胀的结构元素)、imerode(腐蚀)、imdilate(膨胀)

符号计算

s=sym('name');s=sym(var,flag);------vpa----d=9/7;r=vpa(d,8);

syms arg1,arg2 ...  syms k positive

findsym(从表达式中查找符号变量)、pretty(把符号表达式转为手写格式)、simple(对符号表达式进行化简)、simplify(一般化简方法化简计算)、factor(表达式化成连乘积形式)、

expand(把表达式展开)、collet(降幂排列)、convert(exp),convert(sincos),convert(tan)分别以exp，sin&cos，和tan三种数学函数展开，mwcos2sin(给出一个利用cos与sin函数组成的化简结果)、radsimp(尽量给出一个复数形式的结果)、combine(trig),combine利用三角函数形式把高次三角函数转化为一次三角函数组合的形式、horner(表达式展开为重叠形式)、numden(把符号表达式化简为有理分式的形式)，subexpr(相同因子筛选和代换)，subs(符号表达式中变量赋值)、 ccode(把符号表达式转化为对应C语言代码)、fortran(转化为fortan语言)、diff(微分)、jacobian(雅可比)、int(不定积分和定积分)、dsolve(求解微分方程)、limit(计算极限)

多项式

Matlab把多项式降幂的系数提取出来， maple(第一二类切比雪夫多项式，格根包尔，厄米，雅可比，拉盖尔、广义拉盖尔、勒让德)

mfun、roots(计算多项式函数的零点)、ploy2str(多项式系数to多项式标准字符串表达式，ex：poly2str(1:4,'x'))、polyval(多项式函数在某些特殊点的函数值)、conv(卷积)conv2、deconv(解卷积)、polyder(导数)、residue(公式转换)、corr(计算线相关系数)

ex1：符号表达式转化为字符串--f=dsolve('Df=f+sin(t)','f(pi/2)=0');f=char(f);

ex2：对变量的调用--f1=subs(sym('a*u+b'),{'a','b'},{'3','2'});f2=subs(sym('a*u+b'),{'3','2'},{'a','b'});

ex3：含变化参数的符号计算--a=2;v=int(sum(['x^',num2str(a),'+3']),1,2);

ex4：用函数实现赋值--syms x y;f=x^2+x+2;df=diff(sym('x^3+y^2*x'));x=1;y=2;fv=eval(df);

ex5：符号表达式转化--f=x^2+y*3;fun=inline(char(f));

ex6：数值型矩阵转化为符号性矩阵--symb=sym(magic(3));

ex7：复合函数应用--syms x  y;f=1/(1+x^2);g=sin(y);fa=compose(f,g);fb=subs(f,x,g);

ex8：建立抽象函数--f=sym('f(x,y)');g=maple('map(g,x,y)');

第四章：交互及文件操作

input：在程序赋值及相应的地方写上注释；keyboard：对调试正在运行期间修改变量很有帮助。echo on，echo off，echo

profile：可详细地查看Matlab文件中每步消耗的时间

程序加速

数据类型：logical、char、int8、uint8、int16、uint16、int32、uint32、double，尽量不要用超过三维的数组，for、while、switch等代码编写要规范

复数书写：x=7+2i，避免用循环结构，预先分配数组zeros...，少用函数且一定要避免大数据量的参数传递

注释 %;换行...;%%分块;%**%区域注释

文件处理

函数：function  [y1,y2,...]=function_name(x1,x2,...)  函数名要与文件名相同。 nargin：可以返回输入参数的个数

inline：内敛函数-与一般函数差不多，适用于表达式简单的函数

分段函数：s1=‘x.^2.*(x>=0&x<1)’;s2=‘cos([x-1]*pi).*(x>=0&x<1)’;s3=‘(-1)*x.^2./[x+2].*(x>=0&x<1)’;fx=inline([s1,'+',s2,'+',s3]);y=fx(linspace(0,4));plot(linspace(0,4),y);

load:数据读入函数dat、txt、mat、xls；importdata：读入数据文件、音频及图片文件的数据变量信息；dlmread：读取带有分隔符的ASCII文件到矩阵函数

wk1read：读入Lotus1-2-3文件；xlsread：读入Excel文件；fopen、fgetl：读取特殊数据；frewind：进行文件读取的时候，把指针放到文件头；

fscanf：从一个数据文件中按用户自定义的格式来读取格式化数据；写入函数：save，fwrite，fprintf，csvwrite，wk1write，xlswrite，cdfwrite，kmlwrite

图片文件：

imread--imwrite--print：把当前图形窗口上的内容打印到.jpg，.eps和.tif等格式的图形文件中

aviread--avifile记录一个avifile文件---auread--auwrite读写.au音频文件

文件批处理：

diary保存会话；fileparts返回文件名的信息；fullfile建立文件；inmem返回内存中的函数；ls同dir；matlabroot安装根目录；mkdir建立新路径；tempdir返回系统临时路径；type把M文件内容输入命令窗、what列出Matlab文件，filepart返回文件各个部分的信息

第二部分  科学计算：

第五章：线性方程组

函数名	说明	函数名	说明
chol	矩阵的cholesky分解	lu	矩阵的LU分解
cholinc	矩阵的不完全cholesky分解	luinc	矩阵的不完全LU分解
diag	提取矩阵对角元素	norm	矩阵或矢量的范数
eig	求本征值和本征向量	normest	求矩阵的最大范数矢量
eye	生成单位矩阵	pinv	求伪逆矩阵
fliplr	左右翻转矩阵	qr	QR分解
flipud	上下翻转矩阵	rank	求矩阵的秩
inv	求逆矩阵	trace	矩阵对角元素的和（迹）

线性方程组wiki

ex1：AX=B，A和B有相同的行数，则解为X=A\B;X=X';

ex2：消元法--rref(A)--rref可以得到矩阵的最简阶梯矩阵；列主元Gauss消去法解方程组A=[4,2,-6,4;3,1,5,2;2,3,2,-1;2,4,1,2];B=[2;0;0;8];X=CMGelim(A,B);

function X = CMGelim(A,B)
% 列主元Gauss消元法
% A是方矩阵
% b是列向量
% X是线性方程组AX=B的解。
if size(A,1)~=size(A,2);  % 判断A是否为方矩阵
    error('Matrix U must be square.');
end
N = size(A,1); % 返回未知数个数
Ap = [A,B]; % 生成增广矩阵
for n = 1:N-1;
    [Y,Ind] = max(abs(Ap(n:N,n))); % 找出列主元的位置Ind
    C = Ap(n,:);              % 交换当前行和列主元对应的行
    Ap(n,:) = Ap(Ind+n-1,:);   % 交换当前行和列主元对应的行
    Ap(Ind+n-1,:) = C;        % 交换当前行和列主元对应的行
    if Ap(n,n)==0;   % 判断矩阵A是否奇异
        error('Matrix is close to singular');
    end
    for k = n+1:N;
        sc=Ap(k,n)/Ap(n,n);                     % 消元系数
        Ap(k,n:N+1)=Ap(k,n:N+1)-sc*Ap(n,n:N+1); % 消元
    end
end
X=uelim(Ap(:,1:N),Ap(:,N+1)); % 调用程序uelim.m进行回代过程

ex3：LU分解-A=[3,2,2,5;2,2,3,5;2,3,4,2;2,-3,3,2];B=[2;0;0;9];[L,U]=lu(A);B1=L\B;X=uelim(U,B1);Delta=[A*X'-B]';

function X = uelim(U,B);
%  U是上三角方矩阵。
%  b是列向量。
%  X是方程组AX=b的解。
if prod(diag(U))==0; % 判断矩阵U是否奇异
    error('Matrix is close to singular or badly scaled.');
end
if size(U,1)~=size(U,2);  % 判断U是否为方矩阵
    error('Matrix U must be square.')
end
D = triu(U)-U;
if sum(abs(D(:)))>eps;  % 判断U是否为上三角矩阵
    error('Matrix U must be upper triangular.')
end
n = length(B);  % 返回未知数个数
X(n) = B(n)/U(n,n); % 获得最后一个未知数的值
for k = n-1:-1:1;
    X(k) = (B(k)-sum(X(k+1:n).*U(k,k+1:n)))/U(k,k); % 依次求解其它未知数
end

ex4：迭代法：1、雅可比迭代法：A=[9,4,2;3,8,2;2,3,7];B=[1,2,3];X0=[0,0,0];Y=Jacobi_iteration(A,B,X0);

function X = Jacobi_iteration(A,B,X0,kmax,tol);
% 雅可比(Jacobi)迭代法解线性方程组AX=B

if nargin == 4;
    tol = 1e-6; % 设置默认精度
elseif nargin ==3; 
    tol = 1e-6; 
    kmax = 500;% 设置默认迭代次数
elseif nargin == 2;
    tol = 1e-6;
    kmax = 500;
    X0 = zeros(size(B)); % 设置默认初值
end 
n = length(B); % 获得未知数个数
if size(X0,1)<size(X0,2); % 把默认初值改为列向量
    X0 = X0';
end
DA = diag(A); %提取A的对角元素
Ap = [diag(DA)-A]./repmat(DA,1,n); % 生成式(7-28)中的矩阵Ap
Bp = B./DA; % 生成式(7-28)中的向量Bp
for k = 1:kmax
    X = Ap*X0+Bp; % 雅可比(Jacobi)迭代公式
    if norm(X-X0)/(norm(X0)+eps)<tol;% 达到精度将终止循环 
        break;  
    end
    X0 = X;
end
X=X';

2、高斯-赛德尔迭代1法：A=[9,2,2-4;2,8,2,-3;2,2,7,2;3,2,-2,9];B=[1;-1;2;1];X0=[0,0,0,];X=gauseid(A,B,X0);

function X = gauseid(A,B,X0,kmax,tol);
%This function is to find x = A^(-1)*B by Gauss–Seidel iteration.
% A是系数矩阵
% B是列向量
% X0是迭代初值
% kmax是最大迭代次数
% tol是预定的精度
if nargin == 4;
    tol = 1e-6; % 设置默认精度
elseif nargin ==3; 
    tol = 1e-6; 
    kmax = 500;
elseif nargin == 2;
    tol = 1e-6;
    kmax = 500;
    X0 = zeros(size(B));
end 
n = length(B); % 获得未知数个数
if size(X0,1)<size(X0,2);
    X0 = X0';
end
X = X0;
for k = 1: kmax
    X(1) = (B(1)-A(1,2:n)*X(2:n))/A(1,1);
    for m = 2:n-1;
        tmp = B(m)-A(m,1:m-1)*X(1:m-1)-A(m,m+1:n)*X(m+1:n);
        X(m) = tmp/A(m,m); %Eq.(2.5.4)
    end
    X(n) = (B(n)-A(n,1:n-1)*X(1:n-1))/A(n,n);
    if nargout == 0, % 无输出时显示过程结果
        X, 
    end
    if norm(X - X0)/(norm(X0) + eps)<tol;% 达到精度将终止循环 
        break;  
    end
    X0 = X;
end
X = X';

ex5：共轭梯度法，bicg共个梯度、bicgstab稳定双共轭梯度、cgs复共轭梯度平方、gmres广义极小残差、lsqr共轭梯度的LSQR、minres最小残差、pcg预处理共轭梯度、qmr准最小残差、symmlq对称LQ

第六章：超越方程求解

函数解法：

ex1: solve求解

f = sym('a*x^2+b*x+c=0');
% f = 'a*x^2+b*x+c=0';
x = solve(f)
pretty(x)
xL = latex(x)
 
x =
 
 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

ex2：分别求解 和 其中a为未知数；将p,x和b作为常数看待

E1 = 'exp(-p*x)+b*sin(a)';       % 定义方程
E2 = '3*a+4*cos(a+pi)=0';       % 定义方程
a1 = solve(E1,'a')         % 求解方程，并指定a为未知数     
a2 = solve(E2,'a')         % 求解方程，并指定a为未知数
a2d = double(a2)           % 转化为双精度数据

ex3：求非线性4元方程组的解

分析：第一个方程是线性的，而其他3个是非线性的

E1 = 'a+b+x=y*3';        % 定义方程
E2 = 'a*x-b*y=1';        % 定义方程
E3 = 'a*b+x*y=2';        % 定义方程
E4 = 'a+b=(x+y)^2';      % 定义方程
[a,b,x,y]=solve(E1,E2,E3,E4);  % 解方程组
Solution = [a, b, x, y]   % 合为一个矩阵

ex4：求非线性方程组的解

syms x y;      % 定义符号变量
E1 = 'x*y=1';  % 定义方程
E2 = 'x^y=4';  % 定义方程
J = solve(E1,E2,x,y); % 求解方程，J是结构体
x=J.x % 显示x
y=J.y % 显示y
xd=double(x)
yd=[y]
figure;
x = linspace(-2,8,200);
y = lambertw(x);
plot(x,real(y),'k',x,imag(y),'k:');
set(gca,'Fontsize',12);
xlabel('\itx','Fontname','Times','Fontsize',18);
ylabel('lambertw({\itx})','Fontname','Times','Fontsize',18);
set(gca,'Position',[0.13 0.31 0.775 0.615]);
legend('Re','Im',0);
set(gcf,'Color','w');

ex5：求y=0,x的解

syms x a b;              % 定义符号变量
fx = x.^2-a*sin(x)+b;    % 定义符号函数
fx = subs(fx,{a,b},{1,-2}); % 对a和b赋值
fx = char(fx);            % 把fx转换为字符串
fx = strrep(fx,'^','.^'); % 把乘方运算转换为点运算
fx = inline(fx);          % 定义内联函数
x1 = fzero(fx,0)          % 求函数第1的零点
x2 = fzero(fx,2)          % 求函数第2的零点
xt = -6:.1:6;      % 产生[-6, 6]区间内等间距采样点
plot(xt,fx(xt));          % 绘制fx的曲线图
hold on;
plot(xlim,[0,0],'k:')     % 绘制0刻度线
set(gca,'Position',[0.13 0.31 0.775 0.615]);
set(gcf,'color','w');

ex6：求函数在【1，2】区间内的零点

xx = linspace(1,4,200);
yy = [xx.^2-4*sin(5*xx)]./[xx.^2+cos(xx)];
plot(xx,yy,'k');
fun = inline('abs([x^2-4*sin(5*x)]/[x^2+cos(x)])');
                                     % % 转化为函数f(x)的绝对值
x01 = fminbnd(fun,1,1.5) % 计算最小值
x02 = fminbnd(fun,1.5,2) % 计算最小值
x03 = fminbnd(fun,1,4)
[x03, fval] = fminbnd(fun,1,4) % 计算最小值

hold on
plot(xx,abs(yy),'k:');
L=legend('{\itf}({\itx})','|{\itf}({\itx})|',0);
set(L,'Fontsize',18);
plot(x01,0,'r*','markersize',14); % 把解画到图上
plot(x02,0,'r*','markersize',14); % 把解画到图上
plot(x03,fval,'ro','markersize',14); % 把解画到图上
plot(x03,0,'ro','markersize',14);
set(gca,'Fontsize',18);
set(gcf,'Color','w');

ex7：二分法，求解两个方程在区间【1，4】内的解

，

其中，初始条件为

xx = linspace(1,4,200);  % 对自变量采样
for k=1:length(xx);
    x=xx(k);
    Ix=quad('sqrt(t).*sin(t).*exp(-t)',0,sin(6*x)); % 计算离散积分
    y(k)=-2+x+Ix^2; % 得到方程1中函数的数值
end
subplot(121);
plot(xx,y); % 绘制曲线
hold on;
plot(xlim,[0,0],'r:')  % 绘制0刻度线
[x01, f1] = dichotomy('fund1',1,4) % 解方程1
plot(x01,f1,'k*','markersize',12) % 用符号"*"标出方程1的解
set(gca,'Position',[0.13 0.41 0.327023 0.515]); % 重置坐标轴位置
set(gca,'Fontsize',12); % 重置字体大小
subplot(122);
[t,y]=ode45(@vdp1,[0 4],[2 0]);   % 得到方程2中函数的数值
plot(t,y(:,1)); % 绘制曲线
hold on;
plot(xlim,[0,0],'r:') % 绘制0刻度线
[x02, f2] = dichotomy('fund2',1,4)  % 解方程2
plot(x02,f2,'k*','markersize',12) % 用符号"*"标出方程2的解
set(gca,'Position',[0.577977 0.41 0.327023 0.515]); % 重置坐标轴位置
set(gca,'Fontsize',12); % 重置字体大小
set(gcf,'Color','w'); % 重置图形背景色

ex8：抛物线法，求解方程在区间【1，3】内的解

xx = linspace(1,3,200);  % 对自变量采样
y = fund3(xx); % 计算个点的函数值
plot(xx,y); % 绘制函数f(x)曲线
hold on;
plot(xlim,[0,0],'r:'); % 绘制零刻度线
xr = parabola('fund3',1,2,3) % 抛物线法解方程
plot(xr,fund3(xr),'k*','markersize',12); % 绘制解对应的点
set(gca,'Fontsize',12)
set(gcf,'Color','w');

ex9：牛顿法，求解方程在区间【3，5】内的解

xx = linspace(0,6,200);  % 对自变量采样
y = fund4(xx); % 计算个点的函数值
plot(xx,y); % 绘制函数f(x)曲线
hold on;
plot(xlim,[0,0],'r:'); % 绘制零刻度线
xr1 = Newtonm('fund4',1.5) %牛顿法求根，初始点是1.5
plot(xr1,fund4(xr1),'ks','markersize',12); % 绘制解对应的点
plot(1.5,fund4(1.5),'ks','markersize',12); % 绘制解对应的点
xr2 = Newtonm('fund4',3.5) %牛顿法求根，初始点是3.5
plot(xr2,fund4(xr2),'k*','markersize',12); % 绘制解对应的点
plot(3.5,fund4(3.5),'k*','markersize',12); % 绘制解对应的点
xr3 = Newtonm('fund4',5.5) %牛顿法求根，初始点是5.5
plot(xr3,fund4(xr3),'ko','markersize',12); % 绘制解对应的点
plot(5.5,fund4(5.5),'ko','markersize',12); % 绘制解对应的点
set(gca,'Fontsize',12)
set(gcf,'Color','w');

ex10：正割法，求解方程

fun = inline('exp(x)-x-5'); % 定义方程中的函数f(x)
x0 = 3.5;  % 第一初始值
x1 = 3; % 第二初始值 
xr = secant(fun,x0,x1) % 用正割法解方程
xs = secant(fun,x1,x0) % 用正割法解方程
xq = fzero(fun,2) % 利用fzero函数作比较
x0 = 1;  % 第一初始值
x1 = 3; % 第二初始值 
xw = secant(fun,x0,x1) % 用正割法解方程
xa = steffenson(fun,x1) % 用steffenson法解方程
x0 = 1:.4:3.5;
for k = 1:length(x0); % 测试不同初始值对求解的影响
    xt = x0(k);
    xa = steffenson(fun,xt);
    T(k,:)=[xt,xa];
end
T

第七章：数据拟合与插值

ex1：线性拟合

xk = 0:9;

yk = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9];

xk = 0:9;
yk = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9];
plot(xk,yk,'r+')
h=lsline
xd = get(h, 'XData');
yd = get(h, 'YData');
a = [yd(1)-yd(2)]/[xd(1)-xd(2)]
b = yd(1)-a*xd(1)
set(gcf,'Color','w')
set(gca,'Fontsize',16)

P = polyfit(xk,yk,1)

ex2：二元线性拟合
x = 0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000
y = 1.8000    1.7000    1.6000    1.5000    1.4000    1.2000    1.0000    0.8500    0.6700
z = 5.1000    5.4000    5.7000    6.0000    6.3000    6.4000    6.5000    6.7000    6.8000

M=[x',y',ones(9,1)];
d=z;
[X, resnorm, residual] = lsqlin(M,d)
X=X', resnorm, residual=residual'

ex3：多项式拟合

利用从2到5次多项式分别显示多项式系数和次数

x = 0:5;                  % 输入拟合x数据
y = [1 22 61 69 76 111];  % 输入拟合y数据
xp = 0:0.02:5;            % 产生更密集的x轴数据
for N=2:5
	P = polyfit(x,y,N);   % N次多项式拟合
	yp = polyval(P,xp);   % 计算xp出的多项式值
	plot(x,y,'r+',xp,yp,'k');  % 绘制数据点与拟合曲线
	title(['n=',int2str(N)],'Fontsize',16); % 显示次数
    for k=1:length(P);
        text(1+k*0.4,k*10,['P(',num2str(k),...
                ')=',char(vpa(P(k),4))],...
                'FOntsize',16);    %显示所有多项式系数
    end
    set(gca,'Fontsize',14);        %设置字体大小
    set(gcf,'Color','w');          % 重置背景色
	pause                          % 停顿
end

ex4：非线性数据拟合

xd =1     2     3     4     5     6     7     8     9    10
yd =3.5000    3.0000    2.6000    2.3000    2.1000    1.9000    1.7000    1.6000    1.50001.4000

load P0528  % 读入数据
c0 = [0,1,1];                           % 初始值
c = lsqcurvefit('fit_model_a',c0,xd,yd) % 进行非线性拟合
plot(xd,yd,'r+','Markersize',10);  % 利用原始数据绘图
hold on;
xp = linspace(min(xd),max(xd),200);     % 生成原始数据范围内的等间距采样点
yp = fit_model_a(c,xp);                 % 利用拟合系数计算因变量数值
plot(xp,yp);                            % 绘制拟合曲线
set(gcf,'Color','w');
set(gca,'Fontsize',16);

c0 = [0,1,1];                           % 初始值
c = lsqnonlin('fit_model_b',c0) % 进行非线性拟合

ex5：拉格朗日插值

function y=lag_interp(x,xd,yd);
%Example: 
% x=1:.1:4;        % 待求点数据
% xd=1:4;          % 插值点自变量数据
% yd=[2,1,3,4];    % 插值点因变量数据
% y=lag_interp(x,xd,yd); % 计算拉格朗日插值
% plot(x,y,'k',xd,yd,'ko','markersize',10);%绘制曲线
N = length(xd);   % 插值点自变量数据长度
L = length(x);    % 待求点数据长度
W = repmat(xd',1,L); % 生成矩阵W
X = repmat(x,N,1)-repmat(xd',1,L); % 矩阵Xt
y = 0;   % 初始化y
for k = 1:N;
    Xk = X;
    Xk(k,:) = yd(k)*ones(1,L); % 生成矩阵Xk
    Wk = xd(k)-W;
    Wk(k,:) = 1;% 生成矩阵Wk
    y = y+prod(Xk./Wk); % 累积求和
end

ex6：Hermite插值

x=1:.1:4;        % 待求点数据
xd=1:4;          % 插值点自变量数据
yd=[2,1,3,4];    % 插值点因变量数据
rand('state',0); % 设置随机数状态
dy = rand(1,4)-0.5; % 产生随机的dy值
y=hermite_interp(x,xd,yd,dy); % 插值计算
plot(x,y,'k',xd,yd,'ko','markersize',10); % 绘图
set(gca,'Fontsize',16)
set(gcf,'Color','w');
function y=hermite_interp(x,xd,yd,dy);
% Hermite插值
N = length(xd);% 计算插值点数据长度
L = length(x);% 计算待求点数据长度
X = repmat(x,N-1,1); % 扩展为矩阵X
y = 0;  % 初始化y
for k = 1:N;
    xt = xd;
    xt(k) = []; % 去掉不满足条件的求和求积项
    h=prod(1./[xd(k)-xt]);
    h=h*prod([X-repmat(xt',1,L)]);
    h = h.^2;       % 计算h乘积因子
    a = sum(1./[xd(k)-xt]); % 计算a乘积因子
    y = y+h.*[(xd(k)-x)*(2*a*yd(k)-dy(k))+yd(k)];% 对y累加
end

ex6：样条插值

N = 5;                      % 设定采样点数
xd = linspace(-1,1,N);      % 产生插值点
yd = 1./(1+25*xd.^2);       % 产生插值点
x = linspace(-1,1,200);     % 获得待求点坐标
y = 1./(1+25*x.^2);         % 正确的结果
yL = lag_interp(x,xd,yd);   % 拉格朗日插值
rand('state',0);            % 设定随机数状态
dy = rand(1,N)-0.5;         % 产生随机的一阶导数
yH=hermite_interp(x,xd,yd,dy); % 进行厄尔米特插值
subplot(221);
plot(x,yL,'k:',xd,yd,'kx','markersize',8);
hold on;
plot(x,y,'k','linewidth',1);
set(gca,'Fontsize',16);
text(-0.8,0.5,'{\itN} = 5','Fontsize',16);
xlabel('(a)');
subplot(222);
plot(x,yH,'k:',xd,yd,'kx','markersize',8);
hold on;
plot(x,y,'k','linewidth',1);
set(gca,'Fontsize',16);
text(-0.8,1,'{\itN} = 5','Fontsize',16);
xlabel('(b)');
%% N=10;
N = 13;
xd = linspace(-1,1,N);
yd = 1./(1+25*xd.^2);
x = linspace(-1,1,200);
y = 1./(1+25*x.^2);
yL = lag_interp(x,xd,yd);
rand('state',0);
dy = rand(1,N)-0.5;
yH=hermite_interp(x,xd,yd,dy);
subplot(223);
plot(x,yL,'k:',xd,yd,'kx','markersize',6);
hold on;
plot(x,y,'k','linewidth',1);
set(gca,'Fontsize',16);
text(-0.7,-2,'{\itN} = 13','Fontsize',16);
xlabel('(c)');
subplot(224);
plot(x,yH,'k:',xd,yd,'kx','markersize',8);
hold on;
plot(x,y,'k','linewidth',1);
set(gca,'Fontsize',16);
text(-0.7,150,'{\itN} = 13','Fontsize',16);
xlabel('(d)');
set(gcf,'Color','w');

ex7：用不同方法计算函数在【0，5】上的分段插值

x = 0:.5:5;             % 生成插值点自变量数据
% N=length(x);          % 获得插值数据长度
% Ik=randperm(N);       % 产生一个随机排序序列
% x = x(Ik);            % 对x随机排序
y = x.^2.*cos(x);       % 计算插值点因变量数值
xi = 0:.02:5;           % 计算待求点自变量数据
% xi=fliplr(xi);        % 左右翻转向量xi
method = {'nearest','linear','spline','pchip','cubic','v5cubic'}; % 插值方法名数组
for k=1:6;
    subplot(3,2,k);                        % 分布子图顺序
    yi = interp1(x,y,xi,char(method(k)));  % 用不同方法分段插值
    yg = xi.^2.*cos(xi);                   % 计算理论值
    plot(x,y,'ko',xi,yi,'k:',xi,yg,'k');   % 画数据点及绘制曲线
    text(2,5,char(method(k)),'Fontsize',16);  % 输出插值方法
    set(gca,'Fontsize',14);                % 重置坐标轴字体
    xlim([min(x),max(x)]);                 % 设定横轴范围
end
set(gcf,'Color','w');

未完待续！

参考文献：

1、 MATLAB科学计算与可视化仿真宝典

2、 数值方法和MATLAB实现与应用