Dirichlet Process and Hierarchical Dirichlet Process
在这篇文章里，我会初步地介绍Dirichlet Process以及Hierarchical Dirichlet Process，不过仅仅局限于模型本身，并不涉及其inference和具体的application。
首先，我将简单地介绍Dirichlet分布。Dirichlet分布可以看做是分布之上的分布。其定义为对于一个K维的probability simplex:
我们说这组
是Dirichlet distributed， 参数为
如果其满足:
如何理解这个定义呢？我们可以举个例子：假设我们有一个从魔术店买来的骰子，我们不知道这是不是一个和普通骰子一样均匀的骰子，即每面出现的概率都是1/6。那么我们现在就可以用一个分布来描述我们对于这个骰子的uncertainty，也就是说，我们想知道这个骰子是一个公平的骰子的概率是多少。那么这个分布，就可以是一个Dirichlet Distribution，只要我们可以将这个分布描述为上述的数学形式。我们再看一眼这个例子，投掷一次骰子，必然会有一面出现（这是一个好骰子），那么六面出现的概率总和必然为1，换句话说，我们可以用这样一个分布来描述骰子出现的概率。而后我们又想知道，这样一个分布出现的概率是多少，那么我们就可以用Dirichlet分布来描述它。从而我们可以说，Dirichlet分布是一个分布之上的分布。
Dirichlet Process
接下来，我们将从Dirichlet分布过渡到Dirichlet Process。
首先，我们先来看一下probability measure的概念：我们定义G为可度量空间X上的一个probability measure，如果其满足：
我们还是从刚才的骰子的例子开始，我们现在认为整个骰子所描述的事件空间为一个可度量的空间。一个骰子投掷出去之后，六面必然有一面出现，那么我们可以自然地将整个空间分成为6个部分，我们称每一个部分为一个划分。那么针对这种六个划分的情况，我们可以有一个对应于这个划分的Dirichlet分布。现在我们想做一些调整，我们将骰子投掷出去的结果分成了2种，一种是大{4,5,6}，另外是小，对应于{1,2,3}。那么我们可以认为整个空间，被分割成为了2个划分，那么相应的，我们可以对这样一种划分有一个对应的Dirichlet分布。现在我们将其进行一个一般性的描述。假设我们现在有一个可度量的空间X，其上的任意一个有限(finite)划分(partition)满足：
我们说一个probability measure G服从都Dirichlet Process，如果其满足：对于这个可度量空间上的任意一个有限划分，以及一个实数
一个probability measure G0：
这里G0称作base measure,有些类似于这个DP的均值(mean)，
称作Strength parameter， 有些类似于这个DP的inverse-variance，在描述一个DP的时候，我们写作：
接下来，我将简单介绍一下其对应的几种常见的表现形式
The Chinese Restaurant Process
把Chinese Restaurant Process(CRP)放在最前，是我认为这是最容易理解的一种表现形式。其对应的并不是G本身，而是对应一个从G进行sampling的过程。
假设现在有一家中餐馆，里面有无限多的桌子，当然，不是所有桌子上都坐了人。首先进来第一个顾客，第一个顾客只能坐在一号桌子。他坐下之后点了一个菜（这个菜的分量足够大）。然后进来了第二个顾客，他看了一眼一号桌的菜，如果他喜欢吃的话，就坐到一号桌去，如果不喜欢的话，就另外再开一桌，自己点菜。假设这个过程一直下去，当第i个顾客进店的时候，假设这时候已经有了k桌菜，这个顾客巡视了一圈，然后寻找自己喜欢的菜。我们认为他是一个具有大众口味的人，他选择某一桌的概率，完全正比于这桌上坐了多少个顾客。如果他实在没有找到喜欢的菜，他也可以新开一桌，新开一桌的概率正比于某个初始的数值。
现在我们数学一点来看待这个过程：假设每一个sample
，对应于一个顾客。那么我们可以认为第i个sample选择桌子k的概率为
的概率，
代表了这桌的菜
。这个概率正比于已经坐在这桌的顾客数量
，而这个顾客开一个新桌的概率则正比于初始化的参数.
从刚才的描述中，我们已经看出了Dirichlet Process所获得的样本是离散的，并且其抽样过程中体现出了一种聚类的特性。而这些特性不受Base Measure是离散或者连续的影响。
出了CRP之外，还有一个非常类似的方式，称之为Polya urn scheme(Blackwell 1973)。这个过程和CRP非常相似。假设我们现在有一组samples:
这组样本是i.i.d的，并且其满足：
我们可以这样理解抽样的过程：我们现在口袋里有很多很多球，都是不同颜色的。我们从中取出一个球，鉴别了它的颜色，然后拿一个和这个球一样颜色的球和这个球一块儿放回去。如此往复，得到了我们现有的一组样本。
我们和CRP统一一下，则这个过程可以表现为：
如果G的sample可以满足上述的分布，我们就认为从G符合DP。
Stick-breaking Construction
除了CRP之外，我们还可以通过别的方式来构造一个DP，这就是Stick-breaking construction。整个构造过程如下：
我们观察上面的这个过程，可以发现sample的过程，就相当于CRP中给每个桌子赋予一个值，而获取的过程，则是确定每个桌子上的顾客数量。
我们注意到:
所以，我们可以将解释为一个random probability measure。并且，如果是以这样的方式产生的，我们可以将其写为：
GEM代表三个人名，分别为：Griffith，Engen和McCloskey
Dirichlet Process Mixture
另一个理解DP的角度，就是从一个混合模型来看。假设在一个混合模型中，我们不知道component的明确数量，这时候我们应该怎么处理呢？常规的方法是，重复做多次试验，每次试验中假设不同的数量的component，而后利用AIC，BIC等判别方式来进行选择。但是这样的方式又耗时又费力，有没有轻松一些的方式呢？DP mixture model给了我们一个新的选择，其关键点在于，认为空间中是有无限多的mixtrue component的，但是根据我们的数据，只有其中有限个的component被激活了，并且，这些激活的component的proportion满足一个Dirichlet Distribution。下面我们就从一个有限的mixture model出发，来推广到一个DP mixtrue model。
我们假设这个mixtrue model有L个component，我们用来表示每个component的proportion，并且，我们给这个proportion加上一个对称的Dirichlet先验，则我们有：
我们用z代表每个sample的component assignment，即选中了哪一个component，用
代表每个component的参数，而这组参数符合一个分布G0，则我们有：
我们此时可以得到一个分布
而如果我们将L推向infinite，则这个模型便成为了DP mixture， 如同下图
我们再完整地看一次DP mixture的生成过程：
Why Dirichlet Process
我们用了这么复杂的数学手段，搞出来一个DP，是为什么呢？我们观察DP，发现其有一个非常重要的特性，即在抽样的过程中，可以获取到值相等的2个样本。这有什么重要意义呢？这意味着这一过程本身在重复抽样的过程中，就完成了一个聚类的过程。并且我们注意到，DP对于其Base Measure并无要求，也就是说其Base Measure可以为连续的分布。而我们知道，对于一个连续的分布，其抽样的过程中，两个样本完全相同的概率为绝对的0，而DP则可以在这个分布的基础上，将样本离散化，使得2个样本的值相同的概率不为0。
Hierarchical Dirichlet Process
我们发现DP具有很好的聚类的特性，并且我们也不用事先设定好类别的数量，使得整个过程变得更为智能。
那么我们现在考虑另一个问题，假设我们已经有了很多数据，并且数据自身是按照组别出现的，每一组数据都可以看做一个mixture model。除了组别内部是mixture model之外，我们还希望这些mixture component是可以share的。我们换一个角度来看这个问题：假设我们现在有一个巨大的空间，整个空间中包含了无数的mixture component，我们每次选择其中的几个，然后利用这几个component生成一组数据。我们把一组一组的数据放在一起，就得到了我们现在所拥有的数据。我们现在希望可以用mixture model来描述这样一种数据，DP可以帮上什么忙么？
我们注意到，在每一组数据中，我们需要进行一次clustering，这意味着我们可以选择DP来描述某一组数据。但是我们又希望在整个数据中share component，一个很原始的原始的想法，就是限制DP的Base Measure为离散的，从而让我们有固定的component可以进行选择。但是这样就使得问题失去了一般性，并且我们还需要面对一个问题，如何选择这样一个Base Measure以及其component数量。这时候，我们发现这个问题其实和针对每一个组内的问题是一致的，那么我们很自然地就想到了，在这一层上我们再利用一次DP来描述，从而使得我们可以克服这些麻烦的问题。那么在DP之上再引入一层DP的模型，就是Hierarchical Dirichlet Process(HDP)。其图模型可以参看下图
现在我们从生成模型的角度，来看一下这整个的过程：
Chinese Restaurant Franchise
和DP一样，我们也可以用中餐馆这样一个描述方式来加强对于这个问题的理解。
这次，我们不是有一个中餐馆，我们有一家中餐连锁店，每一家都有一样的一份菜单。对于第j家餐馆，我们考虑其第i个顾客。和之前一样，这个顾客走进这家餐馆之后，选择坐在已有的一桌，或者是新开辟一桌。不过这里有一点特别的是，我们允许不同的餐馆中的不同的桌子点相同的菜，因为这些顾客是从同一份菜单里点菜的，当然，每桌还是只有一个菜。那么从一个餐馆的层面来说，我们有：
那么，在选择每桌的菜的层面上，我们有：
我们注意到，在整个过程中，各种菜是可以在组间和组内共享的，这是HDP的关键特性。
Stick-breaking Construction
现在，我们再从Stick-breaking Construction的角度来看一看HDP。
从图中我们可以看出，G0是符合DP的，根据之前我们对于DP的描述，我们有：
其中：
既然G0有support，那么自然的，以G0为Base Measure的Gj也有相同的support，则：
其中，满足:
在给定
的情况下，
之间是相互独立的。那么和之间的关系又是如何呢？
我们知道，根据DP的定义，对于可度量空间上的任意一种有限划分{A1,A2,...,Ar}，我们有：
那么，这也就意味着：
从这个式子中，我们就不难看出：
而和，我们则认为其均为probability measure。
那么对于图中所描述的混合模型，我们的完整的生成模型为：
其中
Discussion
相同的问题，我们为什么要使用HDP？最基本的理由是，如果我们遇到这样的数据集的时候，即一个component会不断变化的mixture model，并且在subgroup中，component是可以共享的这样一个数据集，我们就可以利用HDP来进行建模。实际中，HDP也已经被广泛的使用，应用包括topic modeling，cognitive science等等。
HDP本身是Dependent Dirichlet Process(DDP)的一种具体的形式，它能够有效地描述这种垂直的层级关系。但是HDP也有局限性，其并不能描述即时变化，不能够描述component的生成与消亡。而在解决这个问题上，目前我们可以依靠Poisson Process Based Dependent Dirichlet Process来给出一个方案，这其中利用了Poisson Process，Gamma Process以及DP的内在关系，具体可以看Dahua Lin的NIPS 2010文章。有时间的话，我也会把对那个模型做一个简单的描述。
HDP可以利用Variational Inference和Gibbs Sampling来进行"求解"，Wang Chong也提出了一种Online的算法，其中利用了一种不同的Stick-breaking的构造方式，来使得上下两层关系之间进行解耦，从而能够进行Online的求解过程。