四边形不等式DP基本总结

四边形不等式DP基本总结

首先打广告：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/02/05/1949278.html
我写的斜率优化的解题报告，本文有一些题目在上面的斜率的总结中也有列出，欢迎指错
总体来说我做过的四边形的题目转移代价分为几类
第一类：石子合并类型:NOI95的石子合并的四边形优化
例如最优二叉树也是这个类型的题目
http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2010/10/20/1856971.html 是该题的解题报告
也是是我的第一个四边形的题目
转移方程为dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k + 1][j] + cost[i][j]);
HOJ 2952 多校的时候cai学长出的环形四边形不等式DP

HOJ 2952

第二类：dp[i][j] 形象的表示转移就是：前i个数被j个挡板隔开的最小代价
一下三道例题就是该转移类型的题目
转移方程：dpi][j] = min(dp[i][j - 1] + cost[k + 1][i]);
HOJ 1005 fast food 经典题目
POJ1160 也是一样的四边形不等式题目数据比较弱，所以很容易。AC不过还是出了一些错误的
写了两个版本的，开始因为懒的改了，把状态的顺序反着写的（就是和一般四边形不等式的状态ij换了一个位置，强烈建议不要这么写，给自己找麻烦）结果错了，然后果断重新写了一个一般形式的AC了……回来又把原来的改了，这个题和HOJ 1005是一样的题。
对于任意的a <= b <= c <= d 都满足 cost[a][c] + cost[b][d] <= cost[a][d] + cost[b][c]（太经典了，证明略去）

代码如下

POJ 1160

HDU 3480
之前写过这题的斜率优化解法，是个非常好的题目，这题也能四边形不等式解，最重要的是四边形不等式的解法写起来更简单，虽然效率低了一些
38xxMS，不排除我写的搓的可能性……
这个比较好证明可以满足四边形不等式
w[a][c] + w[b][d] = x[a]^2 + x[b]^2 + x[c]^2 + x[d]^2 - 2 * (x[a] * x[c]) - 2 * (x[b] * x[d])
w[a][d] + w[b][c] = x[a]^2 + x[b]^2 + x[c]^2 + x[d]^2 - 2 * (x[a] * x[d]) - 2 * (x[b] * x[c])
相减 得 2 * (x[a] * (x[d] - x[c]) + x[b] * (x[c] - x[d])) <= 0
满足四边形不等式条件
PS:此题很双，内存巨大无比，可以滚动数组但是果然还是大内存爽呀

代码如下

HDU 3480 四边形不等式解法

同样是斜率优化那篇文章写的题目 HDU2829Lawrence也可以用四边形不等式优化
证明过程可以和上题一样把preprocess过程的计算式展开，然后相减就可以证明了

HDU 2829 四边形不等式解法

第三类：
之所以把他分类第三类，原因是一个四边形成立的证明我不会……
而且这个代价函数和决策量k有关系,所以我一致怀疑四边形是错误的解法，有待其他人的指点
HDU 3516就是这类的题目
四边形AC了，但是理论有待研究

HDU 3516

总结:能用四边形的尽量用四边形写，相比于斜率优化代码简洁有优势，而且证明相比于斜率的证明要容易一些，遇到一些大范围的DP，要第一时间验证是否可以四边形优化。
如果两者都可以的话四边形优先吧，应该不会有题变态到卡这点常数吧，而且斜率的计算容易产生溢出，符号笔误之类的事情