《费用流——数与形的完美结合》

1.阐释费用流的求解原理，即通过不断最短路增广，并用dijistra进行改进，当然，这不是本文重点
2.例题1：给定一个由N个节点，若干条无向边组成的城市，某些节点处有一辆或多辆汽车，一辆汽车只能使用一次，可以行驶任意长度。 坐车和步行速度不同，坐车每个单位距离需要Ds的时间，步行每个单位距离需要Ws的时间。 给定一个长度为M的访问列表，要求从0号节点出发，依次访问列表中的每个节点，最后回到0号节点。可以选择坐车或步行，求完成任务所需的最短时间。
想法：很明显点与点之间连两种边，一种费用为d，流量限制为车辆数，一种没有流量限制，费用为w，将0号点拆为s和t，每个点拆为两个，s向b连一条边容量为出现次数，费用0，a向t连一条边容量为次数费用为0，a向b连一条容量无穷费用为0，跑最小费用最大流即可，
实际思路：很明显我的思路是错误的，因为从b点流出的流指不定就流到哪里了所以建模错误
分析一下题解，思路，题目是组合优化问题，首先考虑dp，然而dp有后效性（车只能用一次）明显可以通过流网络求解，题目存在若干限制：1.顺序经过各个列表顶点 2.每辆车只能用一次
同时，可以考虑从一个点到另一个点的方案两种：1.步行最短路 2.步行后到达某个节点后开车最短路，把方案看成决策，建立二分图（建模，要不在原图修改，要不建立二分图新图，本题中间顶多换一次车所以忽略过程可以建立二分图）左侧：列表中的点，右侧，车辆和0点（步行），s向左连（1，0），右向t（1,0），左右（1，费用（步行加车）），左向0，（1，步行），0向t（无穷，0），最小费用最大流即可（不做解释了就）
总结：题目限制向流量限制转化，关键是分析出转移方案
2.题目：给定N个区间（ai，bi）权值wi，求最大权和且每个点最多覆盖K次
思路：限制：1.每个点顶多k次 2.每个给出区间只能选一次 目标：最大化价值
dp？状态多，建图把
首先离散化
添加一个0向1连，流量限制为k，串联序列，每个点前一条边表示使用次数，原点s向每个区间起始点的前一个点连，流量（1，-区间和），尾点向t（1，-区间和），跑最小费用流得到sum，ans=-sum/2，为什么这么做呢？根据费用流的性质，首先不会选超过k次，其次一个流总会从起点进尾点出，因为，，好吧我知道是错的，但不要喷我，再一次，流不知跑到哪里去了，，，
题解：神题，和那个雇员的网络流本质相同吧，很大脑洞，但关键是回归本质
题目特点：1.离散化后每一个区间覆盖的子区间连续，重述限制，每一个子区间选择最多k次
2.线性不等式添加松弛变量变为等式，再转化为流量平衡方程（回归本质） 3.列出不等式和目标函数（0,1）规划，由连续性可以考虑做差，发现每一个子区间正负各一次（添加首位两个0=0的等式，其他写成和为0的形式，正的流入负的流出），与流网络一一对应 4.建图：
这里的点就是流量平衡方程本身了（厉害吧），s向做差后右侧为正的点连右侧权值，负的向t连（方程中的正表示流出，负表示流入），有正的向有负的添加（1，-wi),辅助变量费用为0，求最小费用最大流取反就行了，
总结：知识点和思想很多，还是限制，没有思路时写出问题的数学形式，考虑限制，必要时把限制加紧，或者放开限制（添加辅助变量），回归问题的本质（流量平衡），连续性和做差，脑洞大的令我佩服，结合noi08的那道题，实际上一样的，都是列出线性规划不等式建模，被称为“数”性建模，
另外，值得一提的是，这类可以列出不等式的可以用线性规划的暴力算法，，根本无脑，效率不错，要学习一下
更多细节可以膜byvoid题解：https://www.byvoid.com/blog/noi-2008-employee/
网上的题解不太一样，将区间端点离散化，然后源向1连流量k，费用0，i与i+1流量无穷，一个区间的两个端点连流量1费用-w，n向t流量k，可以感受一下其正确性，证明？思考，
代码，有时间会打的