一道收集优惠券的面试题

问题：

一个饭店发行一套优惠券，一套里面总共有 n 张不同的优惠券，顾客每次吃一次，可以随机获得一张优惠券。如果收集齐一套，下次吃饭可以打折。请问：顾客要来多少次才能收集齐一套优惠券？（是不是和小时候吃零食收集刮刮卡的情形是一样的，呵呵）

分析：

问题的难点在于顾客获得的优惠劵可能会有重复。但是，我们可以换一角度思考。

假设顾客第一次来，他一定会得到一张独一无二的优惠券，第二次来的时候，得到的优惠券和上次不重复的概率是 (n-1) / n， 第三次来的时候，得到与上两次不同的概率是 (n - 2) / n，.... ，到第 n 次来的时候，与前 n - 1 次收集到的优惠券不同的概率是 1 / n。 

换句话说，拿到第一张不重复的优惠券需要的次数是 1， 拿到第二张与前一张不同的优惠券需要的次数是 n / (n - 1), 拿到第三张与前两张不同的优惠劵需要的次数是 n /(n - 2), 以此类推，拿到最后一张不重复的优惠券所需要的次数是 n / 1.

所以，总的次数是 1 + n / (n-1) + n /(n-2) + n / (n -3) + ... + n ~= n lg n.

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