求首尾相连数组的最大子序列和

求首尾相连数组的最大子序列和

题目描述：

给定一个由N个整数元素组成的数组arr，数组中有正数也有负数，这个数组不是一般的数组，其首尾是相连的。数组中一个或多个连续元素可以组成一个子数组，其中存在这样的子数组arr[i],…arr[n-1],arr[0],…,arr[j]，现在请你这个ACM_Lover用一个最高效的方法帮忙找出所有连续子数组和的最大值（如果数组中的元素全部为负数，则最大和为0，即一个也没有选）。

输入：

输入包含多个测试用例，每个测试用例共有两行，第一行是一个整数n（1=<n<=100000），表示数组的长度，第二行依次输入n个整数（整数绝对值不大于1000）。

输出：

对于每个测试用例，请输出子数组和的最大值。

样例输入：

6
1 -2 3 5 -1 2
5
6 -1 5 4 -7

样例输出：

10
14

最容易想到的算法：

#include<cstdio>
#define MAX 100005

using namespace std;

int main(int argc,char *argv[])
{
	int i,j,k;
	int array[MAX];
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		int flag=0;
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			scanf("%d",&array[i]);
			if(array[i]>=0)
				flag=1;
		}
		long long sum;
		long long max=-1001;
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			sum=array[i];
			for(j=i+1;j<n;j++)
			{
				if(sum<0)
					sum=0;
				sum+=array[j];
				if(sum>max)
					max=sum;
			}
			for(k=0;k<i;k++)
			{
				if(sum<0)
					sum=0;
				sum+=array[k];
				if(sum>max)
					max=sum;
			}
		}
		if(flag)
			printf("%lld\n",max);
		else
			printf("0\n");
	}

	return 0;
}

很不幸，该算法的时间复杂度为O(n*n)，结果可想而知超时了。。。

那么有木有复杂度为O(n)的算法呢？答案是肯定的

首先我们来分析一下，无非存在以下两种情况：

1，最大子序列没有跨过最后一个元素，那就好办了，就是前面提到过的最大子序列和

2，最大子序列跨过了最后一个元素，那么又该怎么解决呢？

不妨换个思路想一想，求出序列的最小子序列，对于跨过最后一个元素的情况下，那么最小子序列一定是负数。那就好办了，只要求出这两种情况下的较大者就行了。

还可以再进行一下转换：对于跨过最后一个元素的情况有

maxsum=sum-minsum即最大子序列和等于全部的和减去最小子序列的和。

AC代码：

#include<cstdio>
#define MAX 100005

using namespace std;

int Array[MAX];

int MaxSum(int n)
{
	int i,sum=0;
	int max=-0xFFFFFFF;
	sum+=Array[0];
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		if(sum<0)
			sum=Array[i];
		else
			sum+=Array[i];
		if(sum>max)
			max=sum;
	}
	return max;
}

int MinSum(int n)
{
	int i,sum=0;
	int min=0xFFFFFFF;
	sum+=Array[0];
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		if(sum>0)
			sum=Array[i];
		else
			sum+=Array[i];
		if(sum<min)
			min=sum;
	}
	return min;
}

int main(int argc,char *argv[])
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		int sum=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			scanf("%d",&Array[i]);
			sum+=Array[i];
		}
		int ans;
		int maxsum=MaxSum(n);
		int minsum=MinSum(n);
		if(maxsum<0)//all numbers are negative
			ans=0;
		ans=maxsum>(sum-minsum)?maxsum:(sum-minsum);
		printf("%d\n",ans);
	}

	return 0;
}