整数划分
整数划分问题相信很多人都做过，题意是这样的：
将正整数n表示成一系列正整数之和，
n=n1+n2+,,,,,+nk(其中n1>=n2>=......>=nk>=1,k>1)
例如:正整数6有如下11种不同的划分，
6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
6=6
这道题网上搜一大把解题方法，什么回溯法，动态规划等等都可以解出来，昨晚突然想到一个新的解题思路（可能网上已经有人发表过了，不过确实是自己突然发现的，如有雷同，纯属巧合O(∩_∩)O~）：
这道题的麻烦之处在于解题过程很容易产生重复的情况，不过只要按照下面的做法就不会出现重复的现象，
当对正整数N划分，有如下划分情况：
N=1+1+........+1
N=1+1+......+2
......
N=1+(N-1)
N=N
接下来如果对N+1(这里用M代替N+1)进行划分时，则在N划分的所有情况前面都加1即
M=1+1+1+........+1
M=1+1+1+......+2
.......
M=1+N
加完之后对每一个新的表达式做如下操作:
步骤1.当表达式的个数小于等于2个时(如:3=1+2表达式的个数为2个)，该表达式不作处理，判断下一个表达式，否则执行步骤2
步骤2.当表达式的个数大于2个时，对表达式的前两个数字求和(如:5=1+2+3,则前两个数即为1和2,)，如果和小于等于第三个数字时，则构造新的表达式,即将当前表达式的前两个数字合并，其他的保持一致:
如原来的表达式为：M=x1+x2+x3+....xn
则新的表达式为:M=(x1+x2) + x2+x3...+n
如果和大于第三个数字,如:7=2+2+3,前两个数字的和为4，大于第三个数字。则不作处理，跳到步骤1，判断下一个表达式
当全部的表达式(只包括前一个数字的表达式前面加1的那些表达式，不包括这个过程生成的新表达式)都执行完以上步骤之后，最终结果就只差一个了，即本身等于本身的情况，再加上该种情况即可
说的很不清楚，来点实际的吧：
如5的划分情况为：
5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3
5=5
现在求6的划分，则首先第一步，在5的每个表达式的前面都加1，则得到：
6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
接着第二步，按顺序对每个表达式执行之前说的步骤1和步骤2。
1.对于表达式：6=1+1+1+1+1+1，满足步骤1，执行步骤2，因为前两个数相加1+1=2大于第三个数1，所以不作处理，继续判断表达式2
2.对于表达式: 6=1+1+1+1+2,6=1+1+1+3 同样不作处理，继续下一个表达式
3.对于表达式: 6=1+1+2+2,前两个求和：1+1=2等于第三个数，所以满足条件，生成新的有效表达式:6=2+2+2，继续下一个表达式
4.对于表达式: 6=1+1+4 , 6=1+2+3,同理，可以生成新的表达式:6=2+4,6=3+3
5.对于表达式: 6=1+5 不满足步骤1中的条件
6.全部表达式遍历完毕，结束，加上自身等于自身的情况，即:6=6
最终的结果就为:
6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
6=6
终于写完了，其实思路很简单，但是要说清楚可真麻烦，根据这种思路，代码就可以写了，不过代码也不是很好写的，我这里用了最简单明了的代码完成以上功能，代码写的很不上档次，空间复杂度太高，有时间再优化，欢迎大牛拍砖！
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class IntegerSplit {
private List<int[]> result = new ArrayList<int[]>();
public void split(int m) {
//初始化
result.add(new int[]{1,1});
result.add(new int[]{2});
if (m == 1) {
System.out.println("1=1");
System.out.println("一共有:1种");
return ;
} else {
for (int i = 3; i <= m; i++) {
int size=result.size();
for(int j=0;j<size;j++){
int[] ca=result.get(j);
int[] newca=new int[ca.length+1];
newca[0]=1;
System.arraycopy(ca, 0, newca, 1, ca.length);
ca=null;
ca=newca;
result.set(j, ca);
int[] cs=merger(ca);
if(cs!=null){
result.add(cs.clone());
}
}
result.add(new int[]{i});
}
}
//打印结果
for(int[] ca:result){
System.out.print(m+"=");
for(int p=0;p<ca.length-1;p++){
System.out.print(ca[p]+"+");
}
System.out.print(ca[ca.length-1]);
System.out.println();
}
System.out.println("一共有:"+result.size()+"种");
}
//合并
public int[] merger(int[] ca) {
if (ca.length <= 2)
return null;
if (ca[0] + ca[1] <= ca[2]) {
int[] rca = new int[ca.length - 1];
rca[0] = ca[0] + ca[1] ;
System.arraycopy(ca, 2, rca, 1, ca.length - 2);
return rca;
}
return null;
}
public static void main(String[] args) {
new IntegerSplit().split(10);
}
}
输出:
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 10=1+1+1+1+1+1+1+1+2 10=1+1+1+1+1+1+1+3 10=1+1+1+1+1+1+2+2 10=1+1+1+1+1+1+4 10=1+1+1+1+1+2+3 10=1+1+1+1+1+5 10=1+1+1+1+2+2+2 10=1+1+1+1+2+4 10=1+1+1+1+3+3 10=1+1+1+1+6 10=1+1+1+2+2+3 10=1+1+1+2+5 10=1+1+1+3+4 10=1+1+1+7 10=1+1+2+2+2+2 10=1+1+2+2+4 10=1+1+2+3+3 10=1+1+2+6 10=1+1+3+5 10=1+1+4+4 10=1+1+8 10=1+2+2+2+3 10=1+2+2+5 10=1+2+3+4 10=1+2+7 10=1+3+3+3 10=1+3+6 10=1+4+5 10=1+9 10=2+2+2+2+2 10=2+2+2+4 10=2+2+3+3 10=2+2+6 10=2+3+5 10=2+4+4 10=2+8 10=3+3+4 10=3+7 10=4+6 10=5+5 10=10 一共有:42种
另外加多一段只求划分总数，不求过程的代码:
public class ZSHF {
public static int q(int n,int m){
if(n<1||m<1)return 0;
if(n==1||m==1)return 1;
if(n<m)return q(n,n);
if(n==m)return q(n,m-1)+1;
return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
public static void main(String[] args) {
int number=10;
int result=q(number,number);
System.out.println("对整数"+number+"的划分一共有:"+result+"种");
}
}
输出结果:
对整数10的划分一共有:42种