Codeforces #299 Div 1 简要题解

A. Tavas and Karafs(536A)

题目链接

http://codeforces.com/contest/536/problem/A

题目大意

给你一个首项为 A ，公差为 B 的等差序列( h1=A,hi=hi−1+B )
n 次询问 (L,t,m) ，即在序列中找出一个最大的 R ，使得最多进行 t 次操作就能将 hL...hR 全部变为0，定义一次操作是在序列中选择不超过 m 个元素，并将它们全部减1

思路

首先给出一个引理：一个有限的等差序列 P1....Pn ，其中所有的元素均非负，若 max{P1,P2...Pn}≤t 且 ∑iPi≤mt ，则我们称这个等差序列可以在 t 次操作内全部变为0，简称这个等差序列是完美的，该状态简写为一个二元组 (m,t) 。

证明：
考虑两种情况。
1、该等差序列中非零数字个数不到 m 个

我们可以每次操作把等差序列里所有的非零数字全部减1
由于 ∑iPi≤mt ，显然这个等差序列是完美的

2、该等差序列中非零数字个数大于等于 m

我们首先找出这个序列里所有的 Pi=t

满足上述条件的 Pi 显然不超过 m 个，因为若满足条件的 Pi 超过 m 个，那么就会使得最终的 ∑iPi>mt ，与之前预设条件矛盾

然后将这些 Pi 全部减去1，假设共有 x 个符合条件的 P(x≤m) ，那么此时在这个新序列里， max{P′1,P′2...P′n}≤t−1 ， ∑iP′i=∑iPi−x≤mt−x ，问题转换成 (m,t−1) ，如此反复，便会到情况1的状态，因此当前的序列也是完美的

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL A,B;
int n;

LL getKth(int x)
{
    return A+(x-1)*B;
}

int main()
{
    scanf("%I64d%I64d%d",&A,&B,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int L,t,m;
        scanf("%d%d%d",&L,&t,&m);
        LL fL=getKth(L);
        int lowerBound=L,upperBound=1100000,ans=-1;
        while(lowerBound<=upperBound)
        {
            int mid=(lowerBound+upperBound)>>1;
            LL fM=getKth(mid);
            LL sum=(fL+fM)*(mid-L+1)/2;
            if(fM<=t&&sum<=(LL)m*t)
            {
                ans=mid;
                lowerBound=mid+1;
            }
            else upperBound=mid-1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

B. Tavas and Malekas(536B)

题目链接

http://codeforces.com/contest/536/problem/B

题目大意

给你一个字符串 P ，要你构造一个长度为 n 的字符串 S ，使得以给定的 m 个下标作开头的后缀里，字符串 P 都是其中的前缀。

思路

显然要先把 m 个 P 串插入到给定的 m 个位置上去，若 m 个 P 串不相互冲突(在 S 串同样的位置上两个 P 串的字母都是相同的)，假设插入了所有的字符串后，还有 t 个空位置，那么就能构造出 26t 个不同的长度为 n 的字符串。

那么如何判断 m 个 P 串里是否存在某些对 P 串相互冲突呢？我们可以 O(n) 扫一遍每个 P 串，判断是否有与其相邻的 P 串，和它相交的那部分存在冲突，这个可以通过hash来判，为了防止被卡hash，建议使用双hash。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 2100000
#define MOD1 1000000007
#define MOD2 1000000009
#define BASE 233

using namespace std;

typedef long long int LL;

int n,m;
LL hash1[MAXN],pow1[MAXN]; //pow[i]=BASE^i
LL hash2[MAXN],pow2[MAXN]; //pow[i]=BASE^i
char P[MAXN];

LL gethash1(int L,int R)
{
    return ((hash1[R]-hash1[L-1]*pow1[R-L+1]%MOD1)%MOD1+MOD1)%MOD1;
}

LL gethash2(int L,int R)
{
    return ((hash2[R]-hash2[L-1]*pow2[R-L+1]%MOD2)%MOD2+MOD2)%MOD2;
}

bool mark[MAXN];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",P+1);
    int len=strlen(P+1);
    int freeNum=0;
    pow1[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pow1[i]=pow1[i-1]*BASE%MOD1;
    for(int i=1;i<=n;i++) hash1[i]=(hash1[i-1]*BASE%MOD1+P[i]-'a'+1)%MOD1;

    pow2[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pow2[i]=pow2[i-1]*BASE%MOD2;
    for(int i=1;i<=n;i++) hash2[i]=(hash2[i-1]*BASE%MOD2+P[i]-'a'+1)%MOD2;

    int pre=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        mark[x]=true;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(mark[i])
        {
            if(pre&&pre+len>i)
            {
                int tmp=pre+len-i;
                if(gethash1(1,tmp)!=gethash1(len-tmp+1,len)||gethash2(1,tmp)!=gethash2(len-tmp+1,len))
                {
                    printf("0\n");
                    return 0;
                }
            }
            pre=i;
        }
        if(!pre||pre+len<=i) freeNum++;
    }
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=freeNum;i++)
        ans=(ans*26)%MOD1;
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}