csdn英雄会（pongo）题解之回文数

题目描述：

如果一个数正着读和反着读一样大，则这个数叫做回文数，例如121是回文数，123454321是回文数。

现给定一个正整数x，输出一个回文数y，要求y > x，并且组成x的所有数字之和与组成y的所有数字之和相等，以及y > x。

x在10^1000以内，因为数字较大，我们用字符串作为输入和输出。

如果无解，请输出Impossible。如果有多个y，输出最小的那个。

例如：

输入919，输出14941

输入1，输出Impossible

解题思路：

题目的意思是给定一个1到10^1000次以内的正整数x，求大于x且是回文的最小y，并且x与y的各位数字之和相等。

回文数有如下性质：

（1）如果回文数各位之和是奇数，那么这个回文数的位数一定为奇数；

（2）设回文数的位数为w，当回文数的各位数字之和sum>=2时：

          当sum为偶数的话，这个回文数的位数w可以为大于等于k的任意数（k为sum/9对上取整）；

          当sum为奇数的话，这个回文数的位数w可以为大于等于k的任意奇数（k为sum/9对上取整）；

（3）给定各位之和sum 和 位数 w，且sum和w满足（2），那么我们可以求得各位之和为sum，位数为w的最小回文数和最大回文数，方法如下：

          最小回文数：由外向内枚举各位数字，枚举从小到大进行，注意最高位从1开始而不是从0开始枚举；

          最大回文数：由外向内枚举各位数字，枚举从大到小进行；

          复杂度为O(w)

通过上面的性质，得出下面的方法：

string palindrom (string   a){//返回值为所求的回文数
	sum为各位数字之和，w字符串a的长度即位数
	如果各位数字之和小于等于1，返回 Impossible;
	//一位数字单独处理
	if(w为1){
		if(sum为奇数)
			返回各位数字之和为sum，位数为3的最小回文;
		else if(sum为偶数)
			返回各位数字之和为sum，位数为2的最小回文;
	}
	//各位数字之和sum>=2,位数>=2
	if(sum为奇数){//和为奇数,那么所求的回文位数也得是奇数
		if(字符串a的位数w为偶数)
			返回 位数为字符串位数+1，各位数字之和为sum的最小回文;
		else if(字符串a位数w为奇数){
			if(字符串大于等于sum和w都相同的回文数的最大值)
				返回位数为字符串位数+2（确保位数是奇数），各位数字之和为sum的最小回文数;
			else
				通过getNear(sum,a,b)求得大于a的最小回文b			
		}
	}else if(sum为偶数){//和为偶数
		if(字符串大于等于sum和w都相同的回文数的最大值)
			返回位数为字符串位数+1，各位数字之和为sum的最小回文;
		else
			通过getNear(sum,a,b)求得大于a的最小回文b
	}
}

getNear(sum,a,b)描述：
根据字符串a的前半部分构造回文b的前半部分：
        如果恰好够造成的回文b的前半部分与a的前半部分一样：
                如果回文b的后半部分大于a的后半部分：
                        那么这个回文b即为所求；
                        例如：a=1234123 ，根据a的前半部分构造出来的b=1234321，那么b即为所求；
                如果回文b的后半部分小于等于a的后半部分：
                      那么需要找到以一个可+1的数位，然后对此位数字加1，然后内部数位重新够造成最小回文，得所求；
                        （由于是内部数字，所以这个内部最小回文的第一位可以是0）；

                        第一个可+1数位为：本位数字<9,且内部数字之和大于等于2；
                        例如：a=1324312 ，根据a的前半部分构造出来的b=1324231，

                        由于b的后半部分小于a的后半部分， 那么在b中需要找到以一个可+1的数位，

                        第三位数字2满足条件，所以对其+1，然后内部数字够造成最小回文，结果b=1332331；

        如果构造成的回文b的前半部分中有个数字比a中对应数字大：
                那么，这个b即为所求；
                例如a=1234444，当在构造b的前半部分的第三位时，b=12___21, 如果第3个数字取3的话，
                那么剩余的内部数字之和为10，剩余内部位数为1，内部不能再继续构造，

                所以第三位取4>3,则b=1248421即为所求；
        如果构造成的回文b的前半部分中有个数字比a中对应数字小：
                那么，同样需要向前找到第一个可+1位，对其加1，然后内部够造成最小回文，得所求；
                例如：a=399212，当根据a的前半部分构造回文b的时候，第三位时：b=39__93,此时a的第三位是9，
                但是b剩余内部数字之和为2，所以最大是1<9,

                此时找到b的第一个可+1位为第一位，对其加1，然后内部够造成最小回文，那么b=409904

同样次过程的复杂度也是O（w），那么整个算法的复杂度是O（w）

代码见http://blog.csdn.net/xhu_eternalcc/article/details/18182639

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