Spearman秩相关系数和Pearson皮尔森相关系数

1、Pearson皮尔森相关系数

皮尔森相关系数也叫皮尔森积差相关系数，用来反映两个变量之间相似程度的统计量。或者说用来表示两个向量的相似度。

皮尔森相关系数计算公式如下：

　　

分子是协方差，分母两个向量的标准差的乘积。显然是要求两个向量的标准差不为零。

当两个向量的线性关系增强时，相关系数趋于1（正相关）或者-1（负相关）。当两个变量独立时，相关系数为0。反之，不成立。比如对于，X服从[-1,1]上的均匀分布，此时E(XY)为0，E(X)也为0，所以 ，但x和y明显不独立。所以“不相关”和“独立”是两回事。当Y 和X服从联合正态分布时，其相互独立和不相关是等价的。

对于居中（每个数据都剪去样本均值，居中后他们的平均值就为0）的数据来说，E(X)=E(Y)=0，此时有：

 

 

即相关系数可以看作是两个随机变量的向量的夹角的cos函数。

进一步归一化X和Y向量后，||X||=||Y||=1.相关系数即为两个向量的乘积

 

2、Spearman秩相关系数

使用Pearson线性相关系数有两个局限：

　　（1）必须假设两个向量必须服从正态分布

　　（2）取值是等距的

对于更一般的情况有其他的一些解决方案，Spearman秩相关系数就是其中之一。Spearman秩相关系数是一种无参数（与分布无关）的检验方法，用于度量变量之间联系的强弱。在没有重复数据的情况下，如果一个变量是另一个变量的严格单调函数，则Spearman秩相关系数就是+1或者-1，称变量完全Spearman秩相关。注意这和Pearson完全相关的区别：Pearson完全相关是只有当两个变量线性关系时，Pearson相关系数为+1或者-1。

对原始数据x_i,y_i按从大到小排序，记x'_i,y'_i为原始x_i,y_i在排序后列表中的位置，x'_i,y'_i称为x_i,y_i的秩次，秩次差d_i=x'_i-y'_i。Spearman秩相关系数为：