卡尔曼滤波算法实例剖析--机器人足球赛场中的定位算法



卡尔曼滤波（Kalman filtering）最早在 阿波罗飞船 的导航电脑中使用，它对 阿波罗计划 的轨道预测很有用。

卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。是目前应用最为广泛的滤波方法, 在通信, 导航, 制导与控制等多领域得到了较好的应用。

 

卡尔曼滤波本身是贝叶斯滤波体系的，建立在马尔科夫概率模型基础上。大多数关于卡尔曼滤波的文章都是大量的数学概率公式，看的晕头转向。本文通过机器人足球场上的定位来通俗易懂的讲述该滤波算法原理。

 

1. 机器人足球场景介绍

如图1所示，踢球的机器人为差分轮式机器人，它可以直线或者弧线行走，也就是可以同时以线速度v和角速度ω行动。v和ω都是从传感器测量得到的，这里认为是已知的。

 

如图2，足球场为矩形，内部填充灰色的黑色圆圈代表机器人，它在场内的位置可以表示为(x,y)，左下角为原点; 圆圈的黑色直线代表机器人的角度为 θ，以X轴正向为0度，逆时针旋转。

为了便于定位，四个角落和中间两边分别放置一个ROS的AR标签，这些标签完全不同，编号为 1-6, 位置在系统内已知固定。无论在场内任何地方，机器人使用Kinnect或XTionPRO 均可以探测到至少一个AR标签，ROS可以检测到距离AR标签的距离 r 和角度 φ. 它们也是实时获取的已知量。

 

很明显，角度θ+φ 是可以从机器人位置(x,y)和AR标签位置(mx,my)同反正切 atan2(mx - x ,my - y) 轻松计算出来。

 

 

  图1  机器人足球场地实景图

 

 

 

图2  机器人足球场逻辑图

 

2. 卡尔曼滤波模型

在任何一个时间点t-1, 机器人的位置为(x, y,θ) , 它以线速度和角速度(vt,ωt)以弧线轨迹移动到下一个时间点t时，新的位置(x', y', θ')通过简单的三角函数数学公式是可以算出来的：

 

 

公式1  坐标转移矩阵

这个过程叫做状态转移，状态x=(x,y) 代表机器人的坐标（状态x 和坐标里面的x只是巧合同一个字母，因为卡尔曼滤波里面的状态就是用x表示的，不要混淆）。

按照公式1不停地累计计算从t 到 t-1，再到t+2,......,t+n，貌似可以得到机器人的实际位置。但是实际效果是什么样子呢？来看一下图3，机器人从左下角开始移动6个时间点，依次经过AR标签2-6, 它的轨迹为实线，白色圆圈代表每个时间点的位置。 而根据公式1的方法计算得到的轨迹为虚线所示，灰色圆圈代表计算机算出的位置。可以清楚的看到，计算误差很大，从一开始的位置计算就有有误差，这种误差不断积累，最终‘失之毫厘，谬以千里’。

 

图3  移动机器人的计算轨迹（虚线）和实际轨迹（实线）有很大误差

 

这是为毛呢？原因就是目前所有人类制造的各种仪器都是有误差的。就像GPS定位一样，它也不是能够精确的给出一个坐标，它有个5米到10米的误差。同样机器人传感器得到的线速度v和角速度ω都是不准确的，有噪音。如图4所示，灰色圆圈为公式1计算出来的坐标，但是噪音范围为椭圆形所示，真实位置在里面的任何一点都是有可能的，只是每个点的概率不一样，中间的概率是最高的。

 

图4 测量误差--椭圆区域

2.1 卡尔曼滤波能做什么

看到这里会问了，不是还有AR标签帮助测量定位吗？根据标签位置，距离和角度也可以算出坐标啊! 没错，但是还是那个老问题，这个测量结果也是有误差的，误差大小完全取决于传感器。

我们总结一下，现在有两个已知量： 

1. 移动的速度和起点坐标 根据公式1算出来的坐标 x = (x,y)  有很大误差噪音
2. AR标签测量的值  z=(r, φ)  有很大误差噪音

卡尔曼滤波能做什么？它可以根据上面的两个有噪音的测量值融合到一起获得最优的坐标，也就是最优状态。这就是一个降噪的过程，滤波出来的坐标也是有噪音的，但是很小。如图5所示，滤波后的轨迹和真实轨迹非常接近了。灰色椭圆是测量位置的噪音范围，黑色椭圆是卡尔曼滤波后的噪音范围，确实降噪了不少。

 

这个最优的坐标和噪音到了下一个时刻t+1，就作为滤波的输入结合t+1的AR标签观测量和噪音再次推导一遍。机器人不断行走，该算法不断的循环执行就推导出了最优的移动轨迹。每次间隔Δt越小，滤波的精度就越高。所以计算机性能越好，就可以越精确的估计移动轨迹。

图5  卡尔曼滤波效果图  移动机器人的计算轨迹（虚线）和实际轨迹（实线）非常接近

********接下来开始讲概率矩阵数学了，东方赤龙提醒您：不想看可以不看了*******

 

2.2 卡尔曼滤波模型参数定义

卡尔曼滤波是为了获取每个时刻t最优的状态，它有许多物理意义的参数：

• 状态  x = 坐标 (x,y,θ)
• 状态噪音Σ = 状态 x 的精确度
• 最优状态 μ  每个时刻卡尔曼滤波估算的最优坐标
• 状态转移控制量  u = 线速度和角速度(v, ω)
• 状态转移噪音 R  因为移动所增加的噪音
• 观测量 z = AR标签测量值 (r, φ)
• 观测量噪音 Q = AR标签传感器的噪音
  

还有几个状态转移方程: 

• xt =At xt-1  +Bt ut     根据t-1的坐标和移动速度估计出在t时刻的坐标，也就是上面的公式一。这里At =1，Bt 就是时间间隔 Δt
• z =C x                        状态量x 到观测量z 的映射关系。这里就是根据下面的三角函数计算出来的， C代表了状态映射矩阵。

 

2.3 卡尔曼滤波过程

有了数据，接下来就是具体操作了。科尔曼滤波或者贝叶斯滤波体系的过程都包含两个步骤：

1. t-1 到 t时刻的状态预测，得到前验概率
2. 根据观察量对预测状态进行修正，得到后验概率，也就是最优值

在卡尔曼滤波里面，每个状态都是一个正态分布概率，也就是高斯分布概率:

p(x) =  N( μ, σ )

这里,μ 就是高斯分布的均值，也就是概率最高的值，称为最优值。σ 就是高斯分布的方差，也就是噪音。所以卡尔曼滤波最终算出来的不是一个精确的状态值，而是一个概率最高的最优状态值。这个状态值在我们的例子里面就是坐标。

  

2.3.1 状态预测

根据t-1时刻的最优状态值 xt-1  ，带入文章开头的状态转移方程公式1，根据控制量u得到t时刻的新状态μ。就是根据机械运动的线速度和角速度推算出新的坐标。为了便于记忆，我们一般化它为公式一：

 

公式一  状态转移变换方程

上面已经说了，这个预测是有误差噪音的，在t-1时刻的噪音 Σt-1 经过状态转移后被扩大了，也就是说经过移动后，坐标的不确定性增大了。新的噪音。为了便于记忆，我们一般化它为公式二：

公式二 状态噪音转移变换方程

2.3.2 卡尔曼增益 K

公式三  卡尔曼增益K

卡尔曼增益 K 相当于一个系数变换矩阵，它包含了两个信息：

1. 观测量 z 到状态量 x 的的变换矩阵，就是说 x = K z .  相当于2.1节提到的状态转移方程 z = C x 中 C 的逆矩阵。本文例子就相当于从地标AR标签的距离和角度反推出机器人的位置。
2. 对观测量的可信度百分比。观测量可信度越高，也就是测量噪音Q相对于与状态预测噪音越小，该百分比就越高。反之则越低。

 
2.3.3  后验值修正

既然预测不准确，那就用测量后验值去修正它。先修正状态值x，就是公式四：

公式四  状态修正方程

这个方程直观上很容易理解，就是假设预测状态正确，那它观测到AR标签时的距离和角度对应的值就是，可视为预测观测值。而则代表预测观测值与实际观测值的差距。乘上卡尔曼增益K，就得到了修正量。修正量加上预测值就是修正值或最优值。假设为0，就是说预测AR标签位置和观测到的AR标签位置完全一样，那公式四返回就是预测状态坐标值，和直观常识吻合的非常完美。假设的值比较大，就是说预测AR标签位置和观测到的AR标签位置差别很大，那根据卡尔曼增益K中的百分比信息的小或大，公式四就返回值靠近预测值或靠近测量值多一些，和实际物理意义吻合的还是非常完美。

 

有了修正后的状态坐标值，就需要得到该状态坐标的修正后的噪音大小 Σt  就是公式五：

公式五  状态误差噪音修正方程
修正后的噪音Σt   其值要比预测噪音 和感测噪音Q都要小。这样直观上也容易理解，滤波后的状态噪音最小，所以最优。

 

2.4 卡尔曼滤波总结

以上公式一二三四五，就是卡尔曼滤波的五项公式。前面说过，在卡尔曼滤波里面，每个状态都是一个正态分布概率，也就是高斯分布概率:

p(x) =  N( μ, σ )

整个滤波过程从高斯曲线上看就如下图6所示：

图6  卡尔曼滤波的高斯分布动态过程

 

a）  初始时刻t-1的状态概率高斯分布，分布图的宽度越宽，误差越大，最优均值概率就越低。

b） t时刻观测到观测量概率高斯分布图，明显观测量噪音低，可信度高。但是两个高斯的均值不一致，就是说观测和预估不一致

c） 卡尔曼滤波后的高斯分布图，该高斯图的噪音比其它两个都小，最优均值概率高于其它两个高斯图，而均值恰好在其它两个高斯均值之间

d） t+1时刻发生的状态转移，状态向右移动，这个过程增加了新的噪音，所以新的状态高斯图噪音增大，最优均值概率下降

e） t+1时刻的观测量高斯分布图

f）  t+1时刻应用卡尔曼滤波融合出来噪音低的最优状态高斯图

3 科尔曼滤波的条件和扩展卡尔曼滤波

本文的例子其实是个扩展卡尔曼滤波。标准的卡尔曼滤波要求2.2小节中的两个状态转移方程为线性方程，也就是要求A、B和C矩阵都为线性矩阵。

• xt = At xt-1 + Bt ut     根据t-1的坐标和移动速度估计出在t时刻的坐标，也就是上面的公式一。这里At =1，Bt 就是时间间隔 Δt
• z = C x                      状态量x 到观测量z 的映射关系。这里就是根据下面的三角函数计算出来的， C代表了状态映射矩阵。

本文的例子明显不符合这个要求，因为涉及到了三角函数等计算。标准卡尔曼滤波在现实环境中是很难找到的，大部分情况下都是非线性状态转移。而扩展卡尔曼滤波就是应用在非线性状态转移的环境中的。它的算法和标准算法一样，只是把上面的A、B和C矩阵线性化，也就是用一个线性方程最大程度的逼近非线性方程。常用的方法有UT变换( Unscented Transformation) 和UKF变换。

ROS学习 ——使用rosinstall下载源文件                          

ROS的stack库分作两部分，一部分为核心部分，即main部分，简而言之就是使用下面命令，安装ROS系统时就已经安装到我们用户电脑上的那部分。

$ sudo apt-get install ros-diamondback-desktop-full

另一部分为选用部分，即universe部分，它不仅包括一些开源库的支持，如opencv,pcl,openni_kinect等，还有更上面以机器人功能模块命令的一些stack，例如pr2_doors,find_object,face recognition,grasp等等，真是一个丰富的宝藏，更详细的stack包可以在官网的StackList页面查询。（http://www.ros.org/wiki/StackList）

      当然，除了随系统自动安装到我们客户端的那部分stack之外，当我们需要某特定功能的模块（如pr2_doors）时,此时,rosinstall就派上用场了,下面就简单以pr2_doors为例.

$ cp /opt/ros/diamondback/.rosinstall ~/stacks/pr2_doors.rosinstall //在stacks文件夹里面创建新的rosinstall文件

$ roslocate info pr2_doors >> ~/stacks/pr2_doors.rosinstall   //此句是自动寻找pr2_doors信息

命令执行到这儿,打开pr2_doors.rosinstall,可以看到:

$ rosinstall ~/stacks  ~/stacks/pr2_doors.rosinstall

$ source ~/stacks/setup.bash  //为防止每次使用启动后都要重新编译,可将相应地址添到~/.bashrc中

$ rosmake  .......(pr2_doors里面所需的package文件)

进一步的可以将下载后的stack目录(如 ~/stacks)添加到ROS_PACKAGE_PATH目录中,以后就能正常在原来的ROS系统下使用下载后的package了.在这里,感谢ROS论坛中提问和解惑的人们.

(本文方法参考以下网址:http://answers.ros.org/question/9197/for-new-package-downloading)

ROS 学习系列 -- 使用Rviz观察智能车的运动轨迹 无陀螺仪计算角度转动                          

视频录像

根据两边轮子转动的速率不同，推算出转动的角度。包括原地旋转。

计算的原理和代码可以查看文章 ROS 教程之 navigation ： 用 move_base 控制自己的机器人(2)