二分图最大匹配,最小点覆盖,最大独立集 证明

二分图中:

最小点覆盖=最大匹配 ,最小点覆盖是指找到一个最小的点集,使得与这些集合中的点相连的边覆盖图G中的所有边

证明: 

1 最小点覆盖大于等于最大匹配 

 假设u和v是最大匹配中,某一条匹配边的两个端点,则u和v不可能同时与非匹配点有边相连,否则最大匹配数目至少要增加1,矛盾。即u和v最多只有一个点可以与若干条非匹配点相连接,因此,只需要选择有连接非匹配点的点进入最小点覆盖集合就可以。证明完毕。


2 最小点覆盖至少是最大匹配 ,如果少于最大匹配,不可能覆盖所有的匹配边,更不用说整个图了。证明完毕。


最大独立集=点数-最大匹配

证明:

假设已经得到最大匹配,在某条匹配边(u,v)中,u有与之相连的非匹配点(那么v一定没有了) ,去掉所有匹配边的u这一点,得到图M,M中的点一定是独立的点集合,同时给M增加任意一个已经去掉的点都会得到一条匹配边,破坏独立性,所以 最大独立集=点数-最大匹配,证明完毕。


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