求强连通分量的双DFS，Tarjan和Gobow算法详解

1.强连通分量-----双DFS算法思想：对一个有向图作两遍DFS，第一遍DFS能确定图中每个顶点的DFS完成时间，第二遍DFS从第一遍DFS完成时间的逆序开始遍历。

思想：对一个有向图作两遍DFS，第一遍DFS能确定图中每个顶点的DFS完成时间，第二遍DFS从第一遍DFS完成时间的逆序开始遍历，这时得到的一棵棵深度优先搜索树就是一个个对应的强连通分量。


举例：

对于上面这个有向图，我们以C为源节点进行第一遍DFS，可以得到每一个顶点的(访问时间/完成时间).也就是我们能得到顶点DFS完成时间，逆序为：b->e->a->c->d->g->h->f。



然后在第一遍DFS的基础上进行第二遍DFS，从逆序开始，即以b为源节点开始深度优先搜索，但这个时候我们要把图反向，得到下边这样一个图，为什么要反向呢？我们在下边讲解。下边就是一个反向图。


逆序即以b为源节点开始，会得到b->a->e; c->d;  g->f;  h;四棵子树，即四个强连通分量。


现在解释一下为什么要先反向？


以C结点为例，图未反向时，我们从C能遍历到的结点有，c->g->h->f->d。


 图反向后，我们从C能遍历到的结点有，c->d。（注意图反向后，我们是从b开始DFS的）从这里我们可以看出c,d就是一个强连通子图。因为从c的正向出发可以到达d，从反向出发也能到达d，那就说明c，，d之间两两都有路径。


为什么第二遍DFS要从逆序开始呢？


我们发现从逆序开始，得到的子树恰好就是一个强连通分量。因为我们从逆序开始不可能访问到本强连通分量以外的顶点。为什么呢？假设在反向后的图中存在一条从框bae到框cd的边，那么在原图中肯定存在一条从框cd到框bae的边，即在第一遍DFS时，从c出发可以访问到b，a，e。那么b，a，e的完成时间肯定比c要早（孩子结点的完成时间比祖先结点要早），与b完成时间最晚矛盾，所以不可能存在一条从框bae到其他框的边，即从b出发只能访问到本强连通分量的顶点。如果我们不从逆序出发，假设从c出发，那么就不能保证只访问到本强连通分量顶点这一性质了。


2.强连通分量---Tarjan算法


以下图作说明。


Tarjan算法中用到一次DFS，主要用到下边这两个数组。


DFN[nei(i)]表示当前未访问出边的邻接点，LOW[son(i)]表示深度优先树中i的孩子结点，当i没有孩子结点时，取它本身。例如，我们从1号顶点出发，访问到3，访问到5，访问到6，（自己画个栈辅助看看）这时我们发现6号顶点没有未访问的邻接点了，而且无未访问出边，它也没有孩子结点，所以等于它本身，满足DFN=LOW（这是出栈条件），我们出栈，即6号顶点是一个强连通分量。回溯到5，发现5号顶点无未访问的出边，选min（LOW[i],LOW[son(i)]）而son(i)就是6号顶点，low值为4，选小的，还是3，即5号顶点满足DFN=LOW，出栈，5号也是一个强连通分量。回溯到3，继续访问4，进栈，这时候4没有未访问的邻接点了，但它有未访问的出边，(4->1).根据公式，此时DFN[nei(i)]就是1号顶点，它的DFN值为1，所以选小的，4号顶点的low值变为1，不满足出栈条件，继续回溯到3，因为4号顶点是3的孩子结点，而且3号顶点无未访问的出边，根据公式能知道3号的low值也为1，不满足出栈条件，继续回溯到1，访问2号顶点，此时2号有一条未访问的出边（2->4）根据公式能知道2号的low值为5，不满足出栈条件，回溯到1，满足DFN[1] = LOW[1]把栈中1号顶点以上的全部顶点出栈，即为一个强连通分量。所以此图的强连通分量即为{6}，{5}，{1,3,2,4}.


为什么满足DFN=LOW就出栈，因为满足这个等式的顶点它必定是一个强连通分量的根节点。为什么？


假设i顶点满足DFN[i]= LOW[i]，而i不是一个强连通分量的根结点，那么i肯定在一个至少有两个结点的强连通分量中，且它是该强连通分量中根节点的后代结点，即存在一条i到它祖先的回路，那么这时候low肯定要变小，就不满足这个等式了，所以满足这个等式的顶点一定是一个强连通分量的根节点。


强连通分量肯定是深度优先搜索树中的一颗子树，现在找到了根节点，只要从叶子结点开始一个个拿出强连通分量即可。怎么拿？


注意到首先完成DFS的肯定是叶子结点，那么只要判断叶子结点是否有到祖先结点的边，就可以判断该叶子结点是不是强连通分量，如果没有，证明该叶子结点就是一个强连通分量（这里肯定满足DFS=LOW），拿出即可；如果有，那么把该叶子结点和与它相连的祖先结点看成一个大的叶子结点，继续上述判断即可。


3.强连通分量---Gobow算法


这个算法是Tarjan算法的一种变形，用了两个栈，Stack v和Stack s；Stack v还是用来在DFS中访问结点的存储，只是出栈条件不一样了；Stack s用来存放强连通分量的根节点。两个栈的出栈条件都为“当前结点v = p.top”。