查找一段文字中最长的重复字串 – 编程珠玑（排过序的后缀数组的应用）

转自：https://www.cse.msu.edu/~liyang5/?p=53

《编程珠玑》在第15章“珍珠字符串”一节，给出了一个非常漂亮的实现 – 基于目标字符串的后缀数组的实现。

后缀数组类似于后缀树，但是又有所不同。
后缀树常用来查找某一段文字中是否出现过（多个）模式串，通过对目标文字段预处理建立后缀树实现。（如果你不明白，参考本blog有一个 字符串模式匹配总结的文章，里面有一篇参考文章将后缀树）。
也可以参考如下文章。
后缀树学习 – [ACM]
http://kinslovertec.blogbus.com/logs/43784965.html 
（等等，有个疑问，前缀树是什么？ 哦，前缀树就是自动机了。字符串多模式匹配中的AC自动机就是一例）

后缀数组举例 如下目标字符串： banana 其长度为6，则后缀数组的长度为6，分别是以b开头的字串（长度为6），以a开头的字串（长度为5），以n开头的字串（长度为4）。。。最后一个是以a开头的字串（长度为1）。
后缀[0] banana
后缀[1] anana
后缀[2] nana
后缀[3] ana
后缀[4] na
后缀[5] a

回到正题，查找一段文字中最长的重复字串。（注意：这不同于算法设计课中常讲的两个字符串的最长公共子序列问题（LCS），LCS问题的最长公共字串可以不是连续的）
最 朴素的算法是，让后缀数组之间两两比较，找出最长的公共字串(注意，这里的最长的公共字串必须是以首字符参与匹配的，如果首字母都不匹配，那么长度为 0，eg后缀[0]和后缀[1]之间的首字母不匹配，则两者的最长公共字串长度为0.。)，但是时间复杂度为O(n^2).

该思想基于以下两个信息：
1）如果存在一个最长的重复字串，那么两个字串均是来自文本串不同的后缀，但这两个后缀有相同的前缀！（这个前缀也就是重复字串了）
2）既然最终结果的后缀肯定拥有相同的前缀，那么我就没有必要让全部后缀之间两两比较，而仅仅比较具有相同的前缀的后缀即可！这可以大大的减少比较的次数，提高效率。

所以，算法的流程是，先将后缀数组字母排序，然后顺次比较（避免了两两比较）即可。
后缀[0] a
后缀[1] ana
后缀[2] anana
后缀[3] banana
后缀[4] na
后缀[5] nana

最终的比较结果是 后缀[1] 和 后缀[2] 之间存在最长公共字串 ana。

后记：
已经多次领教了从后往前寻找算法的优势，EG BM字符串匹配算法，Sunday算法等。这又是一例！

编程珠玑的最后习题部分给出了另外一个问题，如何找到两个不同的字符串中的最长连续字串？
编程珠玑同样利用后缀数组给出了解答，不过答案我看不太明白。

还有一道，如何找到出现次数超过M次的最长连续字串。（M>=2, 当M==2时，就相当于找最长重复字串）
答案是
当M=2时，最长重复字串问题，我们使用的函数是 comlen（a[i], a[i+1]）;
当M>2时，我们就需要使用 comlen（a[i], a[i+M-1]）;
eg M=3时， 仍按照上面的例子，求出的最长字串为 “a“,长度为1; 因为a[i] 和 a[i+M-1]的最长重复字串肯定在a[i+1]~a[i+M-2]之间也重复了，也就是至少重复了M次。
本例中 a[0] 和 a[2]的重复字串 “a” 在a[1]中也重复了。
后缀[0] a
后缀[1] ana
后缀[2] anana
后缀[3] banana
后缀[4] na
后缀[5] nana