查找一段文字中最长的重复字串 – 编程珠玑(排过序的后缀数组的应用)

转自:https://www.cse.msu.edu/~liyang5/?p=53


《编程珠玑》在第15章“珍珠字符串”一节,给出了一个非常漂亮的实现 – 基于目标字符串的后缀数组的实现。

后缀数组类似于后缀树,但是又有所不同。
后缀树常用来查找某一段文字中是否出现过(多个)模式串,通过对目标文字段预处理建立后缀树实现。(如果你不明白,参考本blog有一个 字符串模式匹配总结的文章,里面有一篇参考文章将后缀树)。
也可以参考如下文章。
后缀树学习 – [ACM]
http://kinslovertec.blogbus.com/logs/43784965.html 
(等等,有个疑问,前缀树是什么? 哦,前缀树就是自动机了。字符串多模式匹配中的AC自动机就是一例)

后缀数组举例 如下目标字符串: banana 其长度为6,则后缀数组的长度为6,分别是以b开头的字串(长度为6),以a开头的字串(长度为5),以n开头的字串(长度为4)。。。最后一个是以a开头的字串(长度为1)。
后缀[0] banana
后缀[1] anana
后缀[2] nana
后缀[3] ana
后缀[4] na
后缀[5] a

回到正题,查找一段文字中最长的重复字串。(注意:这不同于算法设计课中常讲的两个字符串的最长公共子序列问题(LCS),LCS问题的最长公共字串可以不是连续的)
最 朴素的算法是,让后缀数组之间两两比较,找出最长的公共字串(注意,这里的最长的公共字串必须是以首字符参与匹配的,如果首字母都不匹配,那么长度为 0,eg后缀[0]和后缀[1]之间的首字母不匹配,则两者的最长公共字串长度为0.。),但是时间复杂度为O(n^2).

该思想基于以下两个信息:
1)如果存在一个最长的重复字串,那么两个字串均是来自文本串不同的后缀,但这两个后缀有相同的前缀!(这个前缀也就是重复字串了)
2)既然最终结果的后缀肯定拥有相同的前缀,那么我就没有必要让全部后缀之间两两比较,而仅仅比较具有相同的前缀的后缀即可!这可以大大的减少比较的次数,提高效率。

所以,算法的流程是,先将后缀数组字母排序,然后顺次比较(避免了两两比较)即可。
后缀[0] a
后缀[1] ana
后缀[2] anana
后缀[3] banana
后缀[4] na
后缀[5] nana

最终的比较结果是 后缀[1] 和 后缀[2] 之间存在最长公共字串 ana。

后记:
已经多次领教了从后往前寻找算法的优势,EG BM字符串匹配算法,Sunday算法等。这又是一例!

编程珠玑的最后习题部分给出了另外一个问题,如何找到两个不同的字符串中的最长连续字串?
编程珠玑同样利用后缀数组给出了解答,不过答案我看不太明白。

还有一道,如何找到出现次数超过M次的最长连续字串。(M>=2, 当M==2时,就相当于找最长重复字串)
答案是
当M=2时,最长重复字串问题,我们使用的函数是 comlen(a[i], a[i+1]);
当M>2时,我们就需要使用 comlen(a[i], a[i+M-1]);
eg M=3时, 仍按照上面的例子,求出的最长字串为 “a“,长度为1; 因为a[i] 和 a[i+M-1]的最长重复字串肯定在a[i+1]~a[i+M-2]之间也重复了,也就是至少重复了M次。
本例中 a[0] 和 a[2]的重复字串 “a” 在a[1]中也重复了。
后缀[0] a
后缀[1] ana
后缀[2] anana
后缀[3] banana
后缀[4] na
后缀[5] nana


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