辗转相除法的原理

【注】本文内容整理自网上下载的一个课件,具体来源不详。

中国 古代就有一个很好的 算法 来计算a,b的最大公约数(a,b),称为辗转相除法,在西方称为Euclid算法。

下面通过计算(1397,2413)来阐述这一算法。   
首先,我们用这两个数1397和2413中两个数中小的去除大的,得商为1,余数为1016。将原来两个数中大的2413扔掉,将1397作为大数,将余数1016作为新的小数。重复上面的过程:用1016去除1397,得商为2,余数为245。扔掉1397,将381作为除数,1016作为小的。用381去除1016,得商为2余数为254,扔掉1016,用254 去除381,得商为1 ,余数为127,再扔掉381,用127去除254,发现能整除,于是127就是最大公约数。
整个计算过程为:  
2413=1397*1+1016,
1397=1016*1+381,
1016=381*2+254,
381=254*1+127,
254=127*2+0,
所以(1397,2413)=127。
  
为什么这样求出是就是最大公约数呢?下面对a,b为正整数(a>b)的情形给出说明。
根据定理10.2,商q和余r数满足a=bq+r,且0≤r ≤b-1. 若r=0,显然(a,b)=b;若r≠0,由于a=bq+r,每个能整除b,r的整数都能整除a,当然能同时整除a,b,所以(b,r)|(a,b);另一方面,r=a-bq,每个能整除a,b的整数都能整除r, 当然能同时整除b,r, 所以(a,b)|(b,r).因此(a,b)=(b,r). 辗转相除法进行一步后,b  取代原来的a,用r取代原来的b,最大公约数保持不变,因此我们的算法可以一直进行下去:
a=bq1+r1,
b=r1q2+r2,
r1=r2q3+r3,

rk-3=rk-2qk-1+rk-1,
rk-2=rk-1qk.
一旦出现rk-2=rk-1qk(即rk=0),则有 rk-1=(rk-2,rk-1)=…=(r1,r2)=(b,r1)=(a,b).
上述的求最大公约数的方法就称为辗转相除法。

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