ACdream dfs 专题

A - Hand in hand

题意:

n个人围成一圈,相邻的人是好朋友必须拉着的手上的数互质  也就是说 这个人的右手的数 和下一个人 左手的数互质

求多少种可能? 同一个环不重复计数


思路:

1 2 3 4假如围成一圈 那么 2 3 4 1也互质  1的右手由第一个圈可知已经和2的左手互质了

同理可以推出 3 4 1 2、4 1 2 3也是这样

所以我们如果我们任意爆搜开始的第一个人话 可搜出重复的  那么我们可不可以固定第一个人呢

显然是可以的  我们上面已经得证了

trick: 1个人的时候  是没有朋友的 即n = 1, ans = 0;


参考code:

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//  Created by TaoSama on 2015-05-29
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;

int n, ans, l[15], r[15];
bool vis[15];

void dfs(int dep, int last, int first) {

    if(dep == n + 1) {
        if(__gcd(l[first], r[last]) == 1) {
            /*for(int i = 0; i < n; ++i) {
                char c = cur[0]; cur.erase(0, 1); cur += c;
                if(s.count(cur)) return;
            }*/
            //s.insert(cur);
            ++ans;
        }
        return;
    }

    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        if(!vis[i]) {
            if(__gcd(l[i], r[last]) == 1) {
                vis[i] = true;
                dfs(dep + 1, i, first);
                vis[i] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        //s.clear();
        memset(vis, false, sizeof vis);
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            scanf("%d%d", l + i, r + i);

        ans = 0;
        if(n != 1) dfs(2, 1, 1);
        else ans = 0;

        printf("%d\n", ans);
        /*for(auto i : s) {
            cout << i << endl;
        }*/
    }
    return 0;
}

B - Circle vs Triangle

题意:

Alice和Bob  A和B玩游戏 A先手 B必须走A旁边的四个格子 谁不能走了 谁就输了


思路:

根据博弈论的思想: 如果A必赢 那么接下来所有的情况中  B都必须输

如果A必输 那么接下来所有的情况中 必定包含一种B赢的情况

那么搜一下就好了


参考code:

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//  Created by TaoSama on 2015-05-30
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;

int n, m, d[][2] = { -1, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 1};
char a[8][8];

bool dfs(int x, int y) {
    for(int i = 0; i < 4; ++i) {
        int nx = x + d[i][0], ny = y + d[i][1];
        if(nx < 1 || nx > n || ny < 1 || ny > m || a[nx][ny] == '*') continue;
        a[x][y] = '*';
        bool sub = dfs(nx, ny);
        a[x][y] = '.';
        if(sub) return false;  //子局面有赢的就输了
    }
    return true; //子局面都输说明赢了
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
        for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%s", a[i] + 1);
        bool win = false;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            for(int j = 1; j <= m; ++j) {
                if(a[i][j] == '.' && dfs(i, j)) {
                    win = true;
                    break;
                }
            }
            if(win) break;
        }
        puts(win ? "Alice" : "Bob");
    }
    return 0;
}

C - 哗啦啦族的24点游戏

题意:
通过+ - x / 讲四个数凑成24点 考虑小数

思路:
考虑搜索一下4个数字的全排列
一个有两种情况 (a@b)@(c@d)      a@(b@(c@d))
先考虑有交换律的运算 +和*  a+b和b+a、a*b和b*a都一样啦
有没有括号都无所谓啦 因为我们搜全排列的时候 (a + b) * c 先计算a + b就等于添加了括号改变了+*的优先级
那么考虑没有交换律的运算 - / 举个例子关于/除法  b/(a-c) 如果我根据全排列的话 只能搜到 (a-c)/b 但是如果我们将运算数颠倒一下位置是不是就可以搜到了呢?
答案是可以 那我们在举个例子关于-减法   c - b/a 我们可以搜到b/a - c 但是怎么都搜不到要求的 如果我们颠倒下 b/a、c 是不是就可以了呢

所以就很明显啦~ 
trick: 有除法 别忘记了 除数不能为0

参考code:
//
//  Created by TaoSama on 2015-05-29
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>


using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;
const double EPS = 1e-10;


int a[5];


void dfs(int dep, double ans, double cur) {
    if(dep == 5) {
        if(abs(ans + cur - 24) < EPS || abs(ans - cur - 24) < EPS
                || abs(ans * cur - 24) < EPS) throw true;
        if(abs(cur) > EPS && abs(ans / cur - 24) < EPS) throw true;
        return;
    }
    dfs(dep + 1, ans + cur, a[dep + 1]);
    dfs(dep + 1, ans - cur, a[dep + 1]);
    dfs(dep + 1, ans * cur, a[dep + 1]);
    if(abs(cur) > EPS) dfs(dep + 1, ans / cur, a[dep + 1]);


    dfs(dep + 1, ans, cur + a[dep + 1]);
    dfs(dep + 1, ans, cur - a[dep + 1]);
    dfs(dep + 1, ans, cur * a[dep + 1]);
    if(abs(a[dep + 1]) > EPS) dfs(dep + 1, ans, cur / a[dep + 1]);
}


int main() {
#ifdef LOCAL
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);


    int t; scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        for(int i = 1; i <= 4; ++i) scanf("%d", a + i);
        sort(a + 1, a + 5);
        try {
            do {
                dfs(2, a[1], a[2]);
            } while(next_permutation(a + 1, a + 5));
            puts("no");
        } catch(bool) {
            puts("yes");
        }
    }
    return 0;
}

D - 哗啦啦族的加法计算

题意:
找到合理的加法运算式子的个数 前n-1行是加数 第n行是结果 相同的字母数字相同 不用的字母数字不同
思路:
那么找到所有的字母 然后一一枚举可能的值 注意这里要特判首位不能为0
这里这两个枚举都map大法好啦~
一个剪枝:
由于所有的行的字符串都大于等于1  那么我们可以把最后一位字母先存下来
然后搜索完毕之后 check一下最后一位的运算是否合法 (大概优化了300+ms)
tirck:
相同的字母数字相同 不同的不同  数字有10个 字母有26个 如果字母数大于了10个
那么无论怎么样搜索 都没有合法解 这时候直接判0就好了

参考code:
//
//  Created by TaoSama on 2015-06-03
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;

long long n, m, last, ans;
bool vis[10];
vector<char> have;
map<char, int> mp, zero;
string a[15];

void dfs(int k) {
    if(k == last) {  //to check the last digits is legal or not
        long long sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            char &c = a[i][a[i].size() - 1];
            if(i != n) sum += mp[c];
            else {
                if(sum % 10 != mp[c]) return;
            }
        }
    }
    if(k == m) { //to check the whole equation is legal or not
        long long sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            long long t = 0;
            for(int j = 0; j < a[i].size(); ++j) {
                char &c = a[i][j];
                t = t * 10 + mp[c];
            }
            if(i != n) sum += t;
            else {
                if(sum == t) ++ans;
            }
        }
        return;
    }

    for(int i = 0; i < 10; ++i) {
        if(vis[i] || i == 0 && zero[have[k]]) continue;
        vis[i] = true;
        mp[have[k]] = i;
        dfs(k + 1);
        vis[i] = false;

    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(cin >> n) {
        memset(vis, false, sizeof vis);
        have.clear(); mp.clear(); zero.clear();

        //save the last digits first
        for(int i = 1; i <= n; ++i)  cin >> a[i];
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            char &c = a[i][a[i].size() - 1];
            if(!mp.count(c)) {
                mp[c] = have.size();
                have.push_back(c);
            }
        }
        last = have.size();

        //save the other digits then
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            for(int j = 0; j < a[i].size() - 1; ++j) {
                char &c = a[i][j];
                if(j == 0) zero[c] = 1;  //save the nonzero character
                if(!mp.count(c)) {
                    mp[c] = have.size();
                    have.push_back(c);
                }
            }
        }
        m = have.size();

        ans = 0;
        if(m <= 10) dfs(0);
        cout << ans << '\n';
    }
    return 0;
}


E - 哗啦啦族的01背包问题

题意:
很明显的01背包问题

思路:
由于背包w很大 那么我们明显不能dp 但是n很小只有40  我们可以以此为突破口
想到01背包就是装和不装的情况 如果搜索的话那么有 2^40种可能
但是我们可以折半搜索
先将2^20种可能存起来 然后搜索后20种可能的时候去匹配前面的情况
利用二分搜索找能装下背包w的最大价值
一个优化:
我们可以将前2^20种可能通过sort字典序 然后删掉一定不能的部分
就是 w[i] <= w[j] && v[i] >= v[j] 的j 通俗来说就是占大位置却没创造更多的价值的部分
当然这个题没必要啦~ 因为价值和背包体积是同等的

参考code:
这里是利用二进制枚举来写的 要比搜索写起来舒服的多
//
//  Created by TaoSama on 2015-05-29
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long  LL;

int n;
LL W, w[45];
pair<LL, LL> ps[1 << 20];

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d%lld", &n, &W) == 2) {
        for(int i = 0 ; i < n; ++i) scanf("%lld", w + i);
        int n2 = n >> 1;
        for(int i = 0; i < 1 << n2; ++i) {
            LL sw = 0, sv = 0;
            for(int j = 0; j < n2; ++j) {
                if(i >> j & 1) {
                    sw += w[j];
                    sv += w[j];
                }
            }
            ps[i] = make_pair(sw, sv);
        }
        sort(ps, ps + (1 << n2));
        int m = 1;
        for(int i = 1; i < 1 << n2; ++i) {
            if(ps[m - 1].second < ps[i].second) {
                ps[m++] = ps[i];
            }
        }

        LL ans = 0;
        for(int i = 0; i < 1 << (n - n2); ++i) {
            LL sw = 0, sv = 0;
            for(int j = 0; j < n - n2; ++j) {
                if(i >> j & 1) {
                    sw += w[n2 + j];
                    sv += w[n2 + j];
                }
            }
            if(sw <= W) {
                LL tv = (lower_bound(ps, ps + m,
                                     make_pair(W - sw, (LL)INF)) - 1)->second;
                ans = max(ans, sv + tv);
            }
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

F - 哗啦啦族的手环

题意:
给一个k 找最大的长度的M的01串 使得这个串的M个  k大小子串(到串尾时可以循环到串头) 都不相同

思路:
由于k大小的串的01串一个有2^k个 由于可以循环到串头 那么我们可以猜想 最长的长度会不会就是2^k呢

先尝试写一个暴力搜索来试试 
ACdream dfs 专题_第1张图片

发现直到15都找到了 16 17爆栈了 这里贴出前8个

说明我们的猜想完全可行  那么我们来也许证明下 我胡扯的

(

 - - 根据鸽笼原理 超过2^k长度 本来串的可能就只有2^k个 超过了说明必然会形成循环

那么就出现了相同的子串 与题目要求违背 那么最大长度就是2^k                                  

)  

证明:

我们把每连着的k个数字当成一个点,每个点的出边有两条,因为下一个数字可能是0可能是1
入边同理也是两条,因为上一个数字可能是0可能是1
然后我们发现每个点的出度=入度,而这恰好是欧拉图的判定条件
所以原图是欧拉图,必然存在一条欧拉回路
那么第一问必然可以取到最大的2^k (官方题解写的 - -)


这么暴力的搜索必然会爆栈 - - 2^(2^k) = 这个数大的可怕了

所以我们来找找规律 观察上面的图发现

对于每个要求的k的求出的合理的2^k大小的串 它的开头是0000... 结尾是1111...

我们来数一下 咦? 好像大小是k耶~

那么我们大胆猜想 所求串的开头一定是k个0 结尾一定是k个1


所以 - - 重新写出一个搜索这回就不会爆栈啦~ 然后我们得到了AC


参考code:

//
//  Created by TaoSama on 2015-05-29
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1 << 17;

int n, m, l;
bool vis[N + 5], a[N + 5];

bool dfs(int k, int v) {
    if(k == l) return true;
    v = (v % m) << 1;
    if(!vis[v] && k <= l - n) {
        vis[v] = true;
        a[k] = 0;
        bool F = dfs(k + 1, v);
        vis[v] = false;
        if(F) return true;
    }
    int w = v + 1;
    if(!vis[w]) {
        vis[w] = true;
        a[k] = 1;
        bool F = dfs(k + 1, w);
        vis[w] = false;
        if(F) return true;
    }
    return false;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        l = 1 << n; m = l >> 1;
        memset(vis, false, sizeof vis);
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] = 0;
            a[l - i + 1] = 1;
        }
        vis[0] = vis[(1 << n) - 1] = true;

        dfs(n + 1, 0);
        printf("%d\n", l);
        for(int i = 1; i <= l; ++i)
            printf("%d", a[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}

/*
暴力找规律代码(事实连linux都爆栈 数真大):
//
//  Created by TaoSama on 2015-05-29
//  Copyright (c) 2015 TaoSama. All rights reserved.
//
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
#include <vector>

using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1 << 17;

int n, m, l;
bool vis[N + 5], a[N + 5];

bool dfs(int k, int v) {
    if(k == l + 1) {
        int w = (v % m) << 1, t = w;
        for(int i = 1; i < n; ++i) {
            w += a[i];
            if(vis[w]) {
                for(int j = 1; j <= i; ++j) {
                    t += a[j];
                    vis[t] = false;
                    t = (t % m) << 1;
                }
                return false;
            }
            w = (w % m) << 1;
        }
        return true;
    }
    v = (v % m) << 1;
    for(int i = 0; i <= 1; ++i) {
        int w = v + i;
        if(k >= n && vis[w]) continue;
        a[k] = i;
        if(k >= n) vis[w] = true;
        bool F = dfs(k + 1, w);
        if(k >= n) vis[w] = false;
        if(F) return true;
    }
    return false;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios_base::sync_with_stdio(0);

    while(scanf("%d", &n) == 1) {
        l = 1 << n; m = l >> 1;
        memset(vis, false, sizeof vis);

        dfs(1, 0);

        printf("%d\n", l);
        for(int i = 1; i <= l; ++i)
            printf("%d", a[i]);
        puts("");
    }
    return 0;
}
*/

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