Poj 3468 A Simple Problem with Integers 相关的8种解法
1.递归线段树，完成时标记：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100009
#define lx (x<<1)
#define rx (x<<1 | 1)
#define MID ((l+r)>>1)
#define LL long long
int n,q;
char c;
int a,b,d;
int A[N];
LL S[N<<2];
LL D[N<<2];
void pushUp(int x)
{
S[x] = S[lx] + S[rx];
}
void pushDown(int l,int r,int x)
{
if(D[x])
{
D[lx]+=D[x];
D[rx]+=D[x];
S[lx]+=(MID-l+1)*D[x];
S[rx]+=(r-MID)*D[x];
D[x] = 0;
}
}
void build(int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] = A[l];
return;
}
build(l,MID,lx);
build(MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
LL query(int L,int R,int l,int r,int x)
{
LL ans = 0;
if(L<=l && r<=R)
{
return S[x];
}
pushDown(l,r,x);
if(L<=MID) ans += query(L,R,l,MID,lx);
if(R>=MID+1) ans += query(L,R,MID+1,r,rx);
return ans;
}
void update(int L,int R,int d,int l,int r,int x)
{
if(L<=l && r<=R)
{
D[x] += d;
S[x] += (r - l + 1)*d;
return;
}
pushDown(l,r,x);
if(L<=MID) update(L,R,d,l,MID,lx);
if(MID+1<=R) update(L,R,d,MID+1,r,rx);
pushUp(x);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&A[i]);
}
build(1,n,1);
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%lld\n",query(a,b,1,n,1));
}
else
{
scanf("%d%d",&a,&b);
scanf("%d",&d);
update(a,b,d,1,n,1);
}
}
return 0;
}
2.递归线段树，未完成时标记：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100009
#define lx (x<<1)
#define rx (x<<1 | 1)
#define MID ((l+r)>>1)
#define LL long long
int n,q;
char c;
int a,b,d;
int A[N];
LL S[N<<2];
LL D[N<<2];
void build(int l,int r,int x)
{
if(l == r)
{
S[x] = A[l];
return;
}
build(l,MID,lx);
build(MID+1,r,rx);
S[x] = S[lx] + S[rx];
}
LL getSum(int l,int r,int x)
{
if(a<=l && r<=b)
{
return S[x] + D[x]*(r-l+1);
}
if(D[x])
{
D[lx]+=D[x];
D[rx]+=D[x];
S[x]+=D[x]*(r-l+1);
D[x] = 0;
}
return (a<=MID ? getSum(l,MID,lx) : 0) + ((MID+1)<=b ? getSum(MID+1,r,rx) : 0);
}
void update(int l,int r,int x)
{
if(a<=l && r<=b)
{
D[x]+=d;
return ;
}
//这一次释放不要忘记
if(D[x])
{
D[lx]+=D[x];
D[rx]+=D[x];
D[x] = 0;
}
if(a<=MID)
{
update(l,MID,lx);
}
if(MID+1<=b)
{
update(MID+1,r,rx);
}
S[x] = S[lx] + S[rx] + D[lx]*(MID-l+1) + D[rx]*(r-MID);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&A[i]);
}
build(1,n,1);
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%lld\n",getSum(1,n,1));
}
else
{
scanf("%d%d",&a,&b);
scanf("%d",&d);
update(1,n,1);
}
}
return 0;
}
3.非递归线段树（批量更新，区间求和）：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100009
#define LL long long
int M;//能构造满二叉树的叶子节点数
int A[N];
LL S[1<<18];//能承载N的满二叉树的节点数
LL D[1<<18];
int n,q,a,b,d;
char c;
void build()
{
for(int i=2*M-1;i>0;i--)
{
if(i>=M)
{
S[i] = A[i-M];
}
else
{
S[i] = S[i<<1] + S[(i<<1)| 1];
}
}
}
LL getSum()
{
LL sum = 0;
int num_a, num_b;
int step = 0;
num_a = num_b = 0;
for(a=a+M-1,b=b+M+1;a^b^1;a>>=1,b>>=1)
{
//如果是左子树的左子树
if(~a&1)
{
sum+=S[a^1];
num_a+=(1<<step);
}
//如果是右子树的右子树
if(b&1)
{
sum+=S[b^1];
num_b+=(1<<step);
}
sum+=num_a * D[a>>1];
sum+=num_b * D[b>>1];
step++;
}
for(a>>=1;a>0;a>>=1)
{
sum+=(num_a + num_b)*D[a];
}
return sum;
}
void update()
{
int num_a,num_b;
int step = 0;
num_a = num_b = 0;
for(a=a+M-1,b=b+M+1;a^b^1;a>>=1,b>>=1)
{
//如果a是偶数
if(~a&1)
{
S[a^1] +=(1<<step) * d;
D[a^1] +=d;
num_a+=(1<<step);
}
//如果b是奇数
if(b&1)
{
S[b^1] +=(1<<step) * d;
D[b^1] +=d;
num_b+=(1<<step);
}
S[a>>1]+=num_a * d;
S[b>>1]+=num_b * d;
step++;
}
for(a>>=1;a>0;a>>=1)
{
S[a]+=(num_a + num_b)*d;
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for(M=1;M<n+2;M<<=1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",A+i);
}
build();
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%lld\n",getSum());
}
else
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
update();
}
}
return 0;
}
4.ZKW树状数组，推导公式：(推荐)
需要两个辅助数组：B[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少，C[i]表示A[1..i]到目前为止共被整体加了多少的总和（或者说，C[i]=B[i]*i）。
对于ADD(x, c)，只要将B[x]加上c，同时C[x]加上c*x即可（根据C[x]和B[x]间的关系可得）；
而ADD(x, c)操作是这样影响A[1..i]的和的：若x<i，则会将A[1..i]的和加上x*c，否则（x>=i）会将A[1..i]的和加上i*c。也就是，A[1..i]之和 = B[i..N]之和 * i + C[1..i-1]之和。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100009
#define LL long long
LL B[N];
LL C[N];
int n,q,a,b,d;
int temp;
char c;
LL sum_a,sum_b;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void updateB(int x,int d)
{
while(x>0)
{
B[x] += d;
x -=lowbit(x);//x^=lowbit(x)
}
}
void updateC(int x,int d)
{
int t = x;
while(x<=n)
{
C[x]+=(LL)t*d;
x+=lowbit(x);
}
}
LL getSumB(int x)
{
LL sum = 0;
while(x<=n)
{
sum+=B[x];
x += lowbit(x);
}
return sum;
}
LL getSumC(int x)
{
LL sum = 0;
while(x>0)
{
sum+=C[x];
x -= lowbit(x);//x^=lowbit(x)
}
return sum;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&temp);
updateB(i,temp);
updateC(i,temp);
if(i>1)
{
updateB(i-1,-temp);
updateC(i-1,-temp);
}
}
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
sum_b = 0;
sum_a = 0;
a -=1;
if(b>0)
{
sum_b = getSumB(b)*b + getSumC(b-1);
}
if(a>0)
{
sum_a = getSumB(a)*a + getSumC(a-1);
}
printf("%lld\n",sum_b-sum_a);
}
else
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
updateB(b,d);
updateC(b,d);
if(a>1)
{
updateB(a-1,-d);
updateC(a-1,-d);
}
}
}
return 0;
}
5.和解法4类似，但B[i]和C[i]两个数组都求后缀和：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100009
#define LL long long
LL B[N];
LL C[N];
int n,q,a,b,d;
int temp;
char c;
LL sum_a,sum_b;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
LL getSum(int x){
LL s1 = 0;
LL s2 = 0;
LL t = n - x;
while (x <= n)
{
s1 += B[x];
s2 += C[x];
x += lowbit(x);
}
return s1 * t - s2;
}
void update(int x, int d){
LL t = (LL) (n - x - 1) * d;
while (x>0)
{
B[x] += d;
C[x] += t;
x -= lowbit(x);
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&temp);
update(i,temp);
update(i-1,-temp);
}
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%lld\n",getSum(a)-getSum(b+1));
}
else
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
update(b,d);
update(a-1,-d);
}
}
return 0;
}
6.B[i]和C[i]都求前缀和：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100009
#define LL long long
LL B[N];
LL C[N];
int n,q,a,b,d;
int temp;
char c;
LL sum_a,sum_b;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
LL getSum(int x){
LL s1 = 0;
LL s2 = 0;
LL t = x;
while (x)
{
s1 += B[x];
s2 += C[x];
x -= lowbit(x);
}
return s1 * t - s2;
}
void update(int x, int d){
LL t = (LL) (x - 1) * d;
while (x <= n)
{
B[x] += d;
C[x] += t;
x += lowbit(x);
}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&temp);
update(i,temp);
update(i+1,-temp);
}
for(int i=0;i<q;i++)
{
scanf(" %c",&c);
if(c == 'Q')
{
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%lld\n",getSum(b)-getSum(a-1));
}
else
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
update(a,d);
update(b+1,-d);
}
}
return 0;
}
7.树状数组解法，推导过程：
首先，看更新操作update(s, t, d)把区间A[s]...A[t]都增加d，我们引入一个数组delta[i]，表示
A[i]...A[n]的共同增量，n是数组的大小。那么update操作可以转化为：
1）令delta[s] = delta[s] + d，表示将A[s]...A[n]同时增加d，但这样A[t+1]...A[n]就多加了d，所以
2）再令delta[t+1] = delta[t+1] - d，表示将A[t+1]...A[n]同时减d
然后来看查询操作query(s, t)，求A[s]...A[t]的区间和，转化为求前缀和，设sum[i] = A[1]+...+A[i]，则
A[s]+...+A[t] = sum[t] - sum[s-1]，
那么前缀和sum[x]又如何求呢？它由两部分组成，一是数组的原始和，二是该区间内的累计增量和, 把数组A的原始
值保存在数组org中，并且delta[i]对sum[x]的贡献值为delta[i]*(x+1-i)，那么
sum[x] = org[1]+...+org[x] + delta[1]*x + delta[2]*(x-1) + delta[3]*(x-2)+...+delta[x]*1
= org[1]+...+org[x] + segma(delta[i]*(x+1-i))
= segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i)，1 <= i <= x
这其实就是三个数组org[i], delta[i]和delta[i]*i的前缀和，org[i]的前缀和保持不变，事先就可以求出来，delta[i]和
delta[i]*i的前缀和是不断变化的，可以用两个树状数组来维护。
#include <stdio.h>
#define N 100002
#define lowbit(i) ( i & (-i) )
/* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */
long long c1[N]; /* 维护delta[i]的前缀和 */
long long c2[N]; /* 维护delta[i]*i的前缀和 */
long long sum[N];
int A[N];
int n;
long long query(long long *array, int i)
{
long long tmp;
tmp = 0;
while (i > 0) {
tmp += array[i];
i -= lowbit(i);
}
return tmp;
}
void update(long long *array, int i, long long d)
{
while (i <= n) {
array[i] += d;
i += lowbit(i);
}
}
int main()
{
int q, i, s, t, d;
long long ans;
char action;
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d %d", &n, &q);
for (i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", A+i);
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
sum[i] = sum[i-1] + A[i];
}
while (q--) {
getchar();
scanf("%c %d %d", &action, &s, &t);
if (action == 'Q') {
ans = sum[t] - sum[s-1];
ans += (t+1)*query(c1, t) - query(c2, t);
ans -= (s*query(c1, s-1) - query(c2, s-1));
printf("%lld\n", ans);
}
else {
scanf("%d", &d);
/* 把delta[i](s<=i<=t)加d，策略是
*先把[s,n]内的增量加d，再把[t+1,n]的增量减d
*/
update(c1, s, d);
update(c1, t+1, -d);
update(c2, s, d*s);
update(c2, t+1, -d*(t+1));
}
}
return 0;
}
8.与7解法相似：
事实上,还可以不通过求s和t的前缀和，而是直接求出[s,t]的区间和，这是因为：
sum[t] = segma(org[i]) + (x+1)*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) 1 <= i <= t
sum[s-1] = segma(org[i]) + s*segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) 1 <= i <= s-1
[s,t]的区间和可以表示为：
sum[t]-sum[s-1] = org[s] + ... + org[t] + (t+1)*(delta[s] + ... + delta[t]) + (t-s+1)*(delta[1] + ... + delta[s-1])
- (delta[s]*s + ... + delta[t]*t)
= segma(org[i]) +(t+1)* segma(delta[i]) - segma(delta[i]*i) , s <= i <= t
+ (t-s+1)*segma(delta[i]), 1 <= i <= s-1
问题转化为求三个数组org, delta[i]和delta[i]*i的区间和，而线段树可以直接求出区间和，所以又得到了另外一种
#include <stdio.h>
#define N 100002
/* 设delta[i]表示[i,n]的公共增量 */
long long tree1[262144]; /* 维护delta[i]的前缀和 */
long long tree2[262144]; /* 维护delta[i]*i的前缀和 */
long long sum[N];
int A[N];
int n, M;
/* 查询[s,t]的区间和 */
long long query(long long *tree, int s, int t)
{
long long tmp;
tmp = 0;
for (s = s+M-1, t = t+M+1; (s^t) != 1; s >>= 1, t >>= 1) {
if (~s&1) {
tmp += tree[s^1];
}
if (t&1) {
tmp += tree[t^1];
}
}
return tmp;
}
/* 修改元素i的值 */
void update(long long *tree, int i, long long d)
{
for (i = (i+M); i > 0; i >>= 1) {
tree[i] += d;
}
}
int main()
{
int q, i, s, t, d;
long long ans;
char action;
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
scanf("%d %d", &n, &q);
for (i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", A+i);
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
sum[i] = sum[i-1] + A[i];
}
for (M = 1; M < (n+2); M <<= 1);
while (q--) {
getchar();
scanf("%c %d %d", &action, &s, &t);
if (action == 'Q') {
ans = sum[t] - sum[s-1];
ans += (t+1)*query(tree1, s, t)+(t-s+1)*query(tree1, 1, s-1);
ans -= query(tree2, s, t);
printf("%lld\n", ans);
}
else {
scanf("%d", &d);
/* 把delta[i](s<=i<=t)加d，策略是
*先把[s,n]内的增量加d，再把[t+1,n]的增量减d
*/
update(tree1, s, d);
update(tree2, s, d*s);
if (t < n) {
update(tree1, t+1, -d);
update(tree2, t+1, -d*(t+1));
}
}
}
return 0;
}
参考资料：
http://kenby.iteye.com/blog/962159
http://www.shuizilong.com/house/archives/poj-3468-a-simple-problem-with-integers/
http://www.cnblogs.com/louisnit/archive/2012/2/29.html