nyoj 90 176 整数划分一 二 和 nyoj 279 队花的烦恼二

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

       例如但n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

根据n和m的关系，考虑以下几种情况： 

       （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

        (2)  当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即{n};

        (3)  当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分

                     个数为f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 

         综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

代码如下

#include<stdio.h>
int f(int k,int s)
{
 if(k==1||s==1) return 1;
 if(k==s) return 1+f(k,s-1);
 if(k<s) return f(k,k);
 if(k>s) return f(k-s,s)+f(k,s-1);
}
int main()
{
	int n,m,t;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
	scanf("%d",&m);
	t=f(m,m);
	printf("%d\n",t);
}
	return 0;}

整数划分（二）  这个也可以用数组保存起来，来节省时间。。

#include<stdio.h>
int f(int k,int s)
{
 if(k==1||s==1||k==0) return 1;
 if(k==s) return 1+f(k,s-1);
 if(k<s) return f(k,k);
 if(k>s) return f(k-s,s)+f(k,s-1);
}
int main()
{
	int n,m,p,t;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
	scanf("%d%d",&m,&p);
	t=f(m-p,p);//注意此处与上面代码的区别
	printf("%d\n",t);
}
	return 0;
}    

虽然AC了，但无奈的是时间太长了。。而且此代码稍加改动后交到  对花的烦恼（二）上面直接超时

比较下面这个代码与第二个的区别

首先 定义f ( i , j )为整数  i  分成 j  个整数 的情况
经过分析可得f（i， j ）可转化为两个部分：
一：  假设 分成的  j  个整数中 不包含1。。那么 此时 f （ｉ－ｊ，ｊ）就是这部分的总情况，既然想让他不包含１，就先将ｊ个整数都分为１，此时ｉ变为ｉ－ｊ，再将ｉ分为ｊ个整数，这ｊ个整数再加上原先分的１，就肯定不会再有１出现了。如果i-j<j的话，f （ｉ－ｊ，ｊ）的值为0
二：　假设分成的ｊ个整数至少有一个１。。那么此时ｆ（ｉ－１，ｊ－１）

#include<stdio.h>
int p(int n,int k)\\思想类似于把n个苹果放到k个盘子里
{
if(n<k) return 0;
else if(k==1||k==n)return 1;
else return p(n-1,k-1)+p(n-k,k);
}
int main()
{
   int n,k,t,s;
scanf("%d",&t);	
while (t--) 
{
scanf("%d%d",&n,&k);
s=p(n,k);
printf("%d\n",s);
}
return 0;
}

用数组把计算过的结果保存起来，避免重复计算，来节省时间 队花的烦恼二时间就为0了.。。

#include<stdio.h>
int p[505][10];
int f(int m,int n)
{
    if(p[m][n]!=0)
    return p[m][n];
	if(m==1||n==1)
		return 1;
	if(m==n)
		return p[m][n]=f(m,n-1)+1;
	if(m<n)
		return p[m][n]=f(m,m);
	else
		return p[m][n]=f(m,n-1)+f(m-n,n);
}
int main()
{
	int m,n;
	while( scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
	{    printf("%d\n",f(m-n,n));
	}
	return 0;
}

先打表存到数组里面

 
#include<stdio.h>
int main()
{
	int a,b,n,m,k;
	int ok[105][105]={0};
	ok[1][1]=1;
	for(a=2;a<=100;a++)
	{
		for(b=1;b<=a;b++)
			ok[a][b]=ok[a-b][b]+ok[a-1][b-1];
	}
	scanf("%d",&k);
	while(k--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%d\n",ok[n][m]);
	}
}