[JSOI2008] [BZOJ1013] 球形空间产生器sphere - 高斯消元

1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

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Description

有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个n维球体中,你只知道球面上n+1个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

第一行是一个整数,n。接下来的n+1行,每行有n个实数,表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位,且其绝对值都不超过20000。

Output

有且只有一行,依次给出球心的n维坐标(n个实数),两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

数据规模:

对于40%的数据,1<=n<=3

对于100%的数据,1<=n<=10

提示:给出两个定义:

1、 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。

2、 距离:设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn),则AB的距离定义为:dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

Source

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       首先我们考虑一下,假设我们设这个球心的坐标是(t1,t2,t3,...,tn),那么我们可以得到每个点到球心的距离L。假设输入数据的第i行第j个数用a[i,j]表示,那么对于任意的0<i<n+2有:

       L=∑{(a[i,j]-t[i])^2}

       我们将每个平方式拆开,并且各式同时减去t[1...n]^2,各式仍然相等。

       所以,我们用第一个式子减去第二个式子,第二个式子减去第三个式子……第n个式子减去第n+1个式子,这样我们就得到了一个有n个式子的n元一次方程组。

      接下来我们将这n个式子写成矩阵的形式:将这n个式子的常数项丢到一边,根据矩阵的乘法的运算,我们可以得出:

    矩阵A(方程组系数矩阵)*矩阵B(答案矩阵)=矩阵C(方程组常数项矩阵)

       ∴ A^(-1) * C = B

       因此我们用Gauss-Jordan消元法,在A矩阵旁边连接一个同样大的单位矩阵,每次找出一个i*i位置的数作为主元,然后将主元所在行化为1,根据主元消去其他各行同一列的系数,将A矩阵变为单位矩阵,这时右边的连接的矩阵D就变为了矩阵A的逆矩阵。即D*A=单位矩阵。

      最后再和B矩阵相乘即可。

#include "stdio.h"
#include "iostream"
#include "math.h"
const double eps=1e-8;
using namespace std;
const int N=15;
double F[N][N<<1],rd; 
double x[N],si[N],ans[N];
bool flag[N];
double k;
int n,tmp;
int main(){
    scanf("%d",&n); int i,j,p;
    for (j=1;j<=n;j++)
        cin>>si[j];
    for (i=1;i<=n;i++){
        for (j=1;j<=n;j++){
            cin>>rd;
            F[i][j]=2*(rd-si[j]);
            x[i]+=rd*rd-si[j]*si[j];
        }
        F[i][n+i]=1.0;
    }
    for (i=1;i<=n;i++){
        k=0.0,tmp=0;
        for (j=1;j<=n;j++){
            if (fabs(F[j][j])>fabs(k)&&!flag[j])
            {
               k=F[j][j],tmp=j;
            }
        }
        flag[tmp]=true;
        for (j=1;j<=2*n;j++){
            F[tmp][j]=F[tmp][j]/k;
        }
        for (j=1;j<=n;j++){
            if (j!=tmp)
            {  k=F[j][tmp];
               for (p=1;p<=2*n;p++){
                   F[j][p]-=k*F[tmp][p];
               }
            }
        }
    }
    for (i=1;i<=n;i++){
        for (j=1;j<=n;j++){
            ans[i]+=F[i][j+n]*x[j];
        }
    }
    for (i=1;i<n;i++){
        printf("%.3f ",ans[i]);
    }
    printf("%.3f\n",ans[n]);
    return 0;
}


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