Manacher算法求最长回文串

思路：
  
  
  
  

   
   
   
   资料来源网络 参见（有改动）：http://www.felix021.com/blog/read.php?2040 
  
  
  
  
  
  
  
  

   
   
   
   
   
   
   
   

   
   
   
   
这道题是一道经典的Manacher算法讲解题目，Manacher是时间复杂度为O(n)的算法。比起蛮力法：对于O(n)的每一个点，都扫描该点的左右对称点，这种方法效率显然是O(n^2)的
   
   
   
   

   
   
   
   
算法巧妙之处：
   
   
   
   
首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。前边的$主要是为了占位，使得算法可以从索引1开始。避开处理边界的情况。 下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";
   
   
   
   
然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：
   
   
   
   
 
    
S     #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  # P     1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1 (p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）
 
   
   
   
   
   
下面计算P[i]，注意，由于manacher算法的处理顺序是从左往右扫描，则处理到i位时，对于任意j < i,P[j]已经被处理过了。该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示i之前某一回文串的中心位置，id的位置很特殊，它使得id的回文半径P[id]向右延伸得最远，最远的位置即为mx：id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。这个算法的关键点就在这里,目的是使mx尽可能大地往右延伸以避免大量地计算前边不必要计算的重复值：如果mx > i，那么P[i] >= min(P[2 * id - i], mx - i)。具体代码如下：
   
   
   
   
 
    
 
     if(mx > i)  p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i)); else  p[i] = 1; 
    
 
   
   
   
   
   
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中（想象下图以id为中轴进行旋转），所以必有 P[i] = P[j]，见下图。
   
   
   
   

   
   
   
   
当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会延伸到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。
   
   
   
   

   
   
   
   
对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了
   
   
   
   
下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因
   
   
   
   

   
   
   
   下面附HDU3068的代码：
  
  
  
  
  
  
  
  

   
   
   
   
   
   
   
   
[cpp] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
#include <iostream>  
#include <string>  
using namespace std;  
  
const int MAX = 110010;  
char str[MAX];  
char res[MAX << 1];  
int p[MAX << 1];  
int n;  
  
void process()  
{  
    n = strlen(str);  
    memset(res,'#',sizeof(char)*(2+n+n));  
    int i;  
    for ( i = 0; i <= n; ++i )  
        res[i+i+2] = str[i];  
    n = i + i;  
}  
void manacher()  
{  
    int id = 0,mx = 0,max = 0,i;  
    for ( i = 1; i < n; ++i )  
    {  
        if ( mx > i )  
            p[i] = min(p[id+id-i],mx - i);  
        else  
            p[i] = 1;  
        while( res[i+p[i]] == res[i-p[i]] )  
            ++p[i];  
        if ( i + p[i] > mx )  
        {  
            mx = i + p[i];  
            id = i;  
        }  
        if ( p[i] > max )  
            max = p[i];  
    }  
    printf("%d\n",max - 1 );  
}  
int main()  
{  
    while(~scanf("%s",str))  
    {  
        process();  
        manacher();  
    }  
    return 0;