包含所有指定字符的最小子串(shortest substring containing all given characters)
问题描述：给定一个字符集合 must [0,...,m-1 ] 和一个字符串str [0,...,n-1 ]。假定 n >= m 。找出 str 中包含 must 中所有字符的最短子串。
最直接和简单的算法当然是暴力搜索(brute-force search)：
minimal := str [0,...,n-1 ]
for i from 0 to n-1 do
search smallest ki such that str [i,...,ki ] contains all characters from must .
//寻找最小的 ki ，使得str [i,...,ki ] 包括所有must 中的字符
if str [i,...ki ] is shorter than minimal , then update minimal to str [i,...,ki ]
//如果该子串比当前已知的最知子串还短，则设置当前最小子串为该子串
可以看出，该算法的复杂度为 O(nk ) 。如果 k =O(n )，则为O(n2 )。那么，有没有更好的算法呢？一般来说，暴力算法会包含很多不必要的或重复的计算。这些不必要的计算有时可以通过剪枝的方法来避免。接下来，我们就来研究如何避免不必要的计算。
首先，如果 str [i ] 不在 must 中，则可以安全的跳过以 str [i ] 开始的子串（注意：这里所说的以 str [i ] 开始的子串，是指从 str 的位置 i 开始的子串，即 str [i,...,k ]，而不是以 str [i ] 这个字符开头的子串；下同。）这是基于如下观察：
观察1： 如果 str [i,...,ki ] 是最短的包含 must 中所有字符的子串，则 str [i ] 和 str [ki ] 都在 must 中。
其次，我们还有
观察2： 如果 str [i,...,ki ] 是包含 must 的子串，并且 str [i ] 在 str [i,...,ki ] 中不止出现一次，则 str [i+1,...,ki ] 也包含 must 中的所有字符。
基于观察2，在暴力算法中，当然从 i 转到 i+1 时，如果能以某种快速的方法知道 str [i ] 在 str [i,...,ki ] 中不只出现一次，则无须搜索以 str [i+1 ] 开始的符合要求的子串：因为 str [i+1,...,ki ] 就是我们要寻找的。
如果 str [i,...,ki ] 是包含 must 的子串，但 str [i ] 只在 str [i,...,ki ] 出现一次呢？显然，str [i+1,...,ki ] 包含了除 str [i ] 外 must 中所有的字符。如果我们在 str [ki +1,..., n-1 ] 中寻找第一个出现的 str [i ]，记为 ki+1 。则
观察3： str [i+1,...,ki+1 ] 是以 str [i+1 ] 开头的包含 must 的最短子串。
基于这以上三个观察，我们可以减少暴力算法中的多少不必要的计算呢？以下我们先给出剪枝后的算法。
step 1: 首先，从 i := 0 ，我们找到第一个包含 must 的以str [0 ] 开始的最小子串：str [0,...,k0 ]。显然，这也是当前我们所知的最短子串。设 j := k0 ；
step 2: 接下来，假定我们已经知道 str [i,...,j ] 包含了 must 。
step 3: 考虑当前 i 。 1) 如果 str [i ] 不在 must 中，根据观察1，我们继续向前移动 i := i + 1 ；2) 如果 str [i ] 在 must 中，且在 str [i ] 在 str [i,...,j ] 中不止出现一次，根据观察2，继续向前移动 i := i + 1 ；3) 否则，如果 str [i,...,j ] 比 mininal 还要短，则我们找到了更短的子串，设置 mininal := str [i,...,j ]，然后向前移动 j 直到 str [j ] == str [i ] 或者 j > n-1 。如果 j > n-1 ，则结束程序；否则，回到 step 3。
注意到我们在 step 3 中的 1）和 2）并没有更新 mininal 。这是因为那是多余的。如果发生了1），则在之后的某一刻一定会发生2）或者3）（这里假定 must 不为空）；如果发生了2），则在之后的某一刻会发生3）。而由于基于以上三个观察的剪枝是安全的，即不会影响到解的正确性，所以，上述算法也是正确的。事实上，该算法的正确性也可以通过归纳法得以证明。上面的描述基本上就是遵从了归纳法的描述框架。
那么，剪枝后的算法复杂度呢？注意到 step 3 的循环中，我们每次都至少向前移动 i 或 j 一步，因此，该循环最多执行 2n 次。如果我们使用一个哈希表来记录 str [i,...,j ] 中每个在 must 中的字符的出现次数，就可以在O(1)的时间内决定是分支到1）2）3）中哪一支。而显然，在1）和2）分支中，时间为 O(1)；而在 3）中，除掉移动 j 的步骤，时间也为 O(1)，而移动 j 的步骤已经被计算到循环所需要的次数中了。因此，整个算法的复杂度为 O(n )。
把上述算法描述转成 c/c++ 代码也是相当直观的，因此也没必要给出代码了。只不过，在实现时，也注意一些细节，否则很容易出现bugs。其实，这句话，对任何代码实现都是对的：）
P.S. 网页中排版算法和表达式真不方便啊，准备找找能从 latex 转成网页的工具。。。