守望之夏：地图投影的N种姿势



【近日，一篇题为《我们看到的地图一直都错得离谱……》的文章在朋友圈里莫名流行起来，里面列举了横麦氏地图的种种“谬误”。小编知道，其实地图册里最常见的世界地图并非横麦氏地图，而是这样的：

 

但有人指出：“等差分纬线多圆锥投影是一种任意投影，所以也是没法儿保障等积的……”

投影原来这么复杂！请看来自密歇根大学地球和环境科学系的守望之夏同学的详细解读。本文原载知乎，作者授权观察者网转载。原文链接：http://www.zhihu.com/question/36908959/answer/70944368】

地球是一个3维的球体（并不准确但暂且管它叫球体吧），而地图是一个2维的平面。把3维球体的表面转换到2维的平面的过程叫做投影。投影的种类有很多种，每一个种类都有自己的数学规则。在投影的过程中。因为维度的改变，投影过程中，图形的形变扭曲是无法避免的。因此，在世界地图上，面积、形状、方向和距离的准确性无法全面顾及。

有些人感觉俄罗斯的面积和非洲一样大，应该是看到了麦卡托投影。在这种投影里，俄罗斯显得相当巨大，是大于非洲的。而格林兰岛则是和非洲显得差不多大。我们就从麦卡托投影说起。

麦卡托投影（Mercator Projection）是在绘制世界地图的时候常用的投影之一。它的效果图如下：
 
 

麦卡托投影是圆柱投影的一种，是由地理学家麦卡托于16世纪发明的。和所有其它的圆柱投影一样，麦卡托投影的世界地图中，地球纬线是左右方向平行的，长度一样，覆盖整个地图的画幅；而经线是上下方向平行，垂直于纬线。然而在现实世界里，这显然是不对的：如果你拿来一个地球仪仔细观察，就能发现地球的纬线虽然是平行的，但长度却不一样：赤道最长，越往两级方向越短。而经线虽然都是一样长的，但它们并不平行，而是在南极和北极交汇成点。

那么，麦卡托为什么要对地球作这样的改变呢？我们首先来看麦卡托投影这种圆柱投影是怎么操作的。如图：
 
 

把一张纸（平面）以如图所示的方式包住地球仪，形成一个圆柱体。地球仪的赤道和纸面相切。假设地球仪表面透明，且它的球心有光源，那么地球仪表面的大陆轮廓就被投影到了纸面上。用笔在纸面上记录下轮廓后，将纸面展开，就得到了麦卡托投影的世界地图。这样的投影，真实地记录下了大陆和岛屿的轮廓形状。在赤道上，由于地球仪和纸面相切，因此面积和方向也是完全真实的。然而，在往两极方向，我们可以明显看出，大陆图案的面积发生了形变。比如下图：
 

南北方向上，地球表面的真实面积如红色区域所示，然而投影到纸面以后，扩大成了蓝色的区域。而对于南极点和北极点来说，通过它们的光线与纸面是平行的，因此它们被无限形变，从两个点变成了两条直线（也就是麦卡托投影的世界地图的上下两条边界）。

从数学的角度，我们也可以解释这种形变。以北纬60度为例，如图所示：
 
 

R是赤道半径，r是北纬六十度纬线的半径。r/R=sin （90-60）度=1/2，周长=2*pi*半径，因此赤道的半径是北纬六十度的2倍。然而，在麦卡托投影的世界地图里，北纬六十度和赤道是一样长的。因此为了保持大陆的形状，在北纬六十度，地图的南北方向也被拉长了2倍。这样，大陆的形状被完美地记录了下来，但是面积就无法顾全了。

越往北极走，真实的纬线越短，因此画在地图上以后，南北方向就需要拉长得更多。形变也就越大。

一般来说，麦卡托投影的地图在南纬15度到北纬15度区间内的面积，可信度还是比较高的。中纬度地区有一定的面积形变。高纬度地区的面积变化很大。俄罗斯、加拿大和格林兰的纬度都很高，中国和美国的纬度适中，而非洲、东南亚和墨西哥的纬度很低。

由此，麦卡托地图上的格林兰岛看起来和非洲差不多大，但实际上它只有非洲的1/12左右。加拿大和俄罗斯本来面积就不小，再加上纬度高，因此在麦卡托投影的地图上，这两个国家显得无比的大。美国的本土48个州在中纬度，形变比较适中，然而它最大的州阿拉斯加在高纬度地区，因此也显得十分巨大。很多美国中小学的老师都提议，教材里要尽量少用麦卡托投影的地图，因为这种地图经常误导小朋友，让他们以为阿拉斯加真的如此巨大。

说到麦卡托投影，就不得不提一个常见的误区：地图上两点之间最短的路径不一定是连接它们的直线段。比如，经常可以看到，从英国伦敦飞到美国西雅图的民航航线是这样的：
 

 

弧线是航班路线。很多人以为选择这条弧线而不是直线是因为天气因素或者别的什么因素。但事实上，图中这条弧线才是两座城市间的最近距离。看看地球仪，或者换一种投影的地图，就一目了然了。
 

 
     
地图投影远不止麦卡托投影这一种。麦卡托投影是圆柱投影（Cylindrical Projection）的一种。圆柱投影的制作方法大同小异，但是如果基准线的选择不同，那做出来的地图效果就大不一样。

前面说过，麦卡托投影的基准线是赤道。而横向麦卡托投影（Transverse Mercator Projection）的基准线则是一对形成大圆的经线（完全相对的两条经线）。如图所示：

 
这样一来，被选中的两条组成大圆的经线（包括两个极点）在地图上就成了直直的一条基准线。纬线则围绕着两个极点形成了两组被拉长的同心圆。赤道被切成3段，分别位于地图中央，上沿和下沿。比如，一幅以本初子午线所在的大圆为基准的横向麦卡托投影，画出来是这样子的（其中每一个红色圆圈所代表的区域，在真实世界中是面积一样大的）：
 
 

这幅地图中，基准线附近的非洲、欧洲和南极洲的形状和相对大小保持得不错，但离基准线较远的东亚和美洲则悲剧了。因此选择基准线很重要。在采用横向麦卡托投影的时候，世界各地各国都会采用不同的基准线，这也就形成了一套制图领域很重要的UTM系统（全球横向麦卡托投影系统）。

当然，还有的圆柱投影的地图却有不止一条基准线。比如下图：
 
 

这种是利用割线投影，有两条基准线。如果基准线选择得恰当，就能有效地降低地图重要部分的面积变形。

除了圆柱投影以外，按照制作方法，还有圆锥投影（Conical Projection）和方位角投影(Azimuthal Projection)等大类。圆锥投影多数情况下是给像中国和美国这些中纬度的国家使用的。它的原理和圆柱投影很类似。但是，圆柱投影一般是用一张矩形的纸来卷成一个圆柱形，进行投影。而圆锥投影一般是采用扇形的纸张。它也可以选用1条基准线（相切）或2条基准线（相割）。它的原理如下图，可以自己体会一下：
 
 

为什么它适合像中国或美国这样的中纬度国家，以及它有什么缺点，想必已经一目了然了吧。这种地图一般只画出基准线所在半球，因为另一个半球的形变会相当大。

方位角投影有时也叫做平面投影（Planar Projection）一般用于高纬度、两极的地图或导航地图，它们也有不少种类，原理如下：
 
 

最著名的一个方位角投影的地图，估计就是联合国的旗帜上那个了。联合国旗帜上的地图的投影是方位角投影中的一种，叫做球极平面投影（Stereographic Projection）。
 
 

除了按照制作方法分类，投影还可以按照绘制出的地图的效果分类。

保持角度关系不变：

根据投影效果，第一种投影的大类是等角度投影（Conformal Projection）。

在一张等角度投影的地图上，任意一点的所有方向的比例是相同的。地球仪上两条垂直的线，到了等角度投影的地图上，也是垂直的。前面说的麦卡托投影按照这种分类方法就是等角度投影的一种，它保持了经纬线之间的九十度交角，从而保证了大陆和岛屿轮廓形状的准确。球极平面投影也是一种等角度投影，它保持了纬线之间的平行关系和经线的放射关系。

除了这两种投影以外，兰伯特等角投影（Lambert Conformal Projection）也是一种常用的等角度投影。它是一种圆锥投影，选用两条基准线，制作过程中保证了地图上有效范围内的任意两点之间的相对方向的准确性。但是距离基准线越远，形状和面积的变化就越大。前面说过，圆锥投影对中纬度地区的国家比较适用。中国的很多地图就是采用的兰伯特等角投影。其中，每个省份的分省地图，选择的两条基准线都不一样，这样才能做到在保证角度的同时，形变量最小。兰伯特等角投影的效果如下：
 
 

保持面积关系不变：

第二大类的地图投影可以保持面积，叫做等面积投影（Equal Area Projection）。等面积投影中，比较出名的是摩尔威德投影（Mollweide Projection）、阿尔伯斯等面积投影（Albers Equal-area Conic Projection）和兰伯特等面积投影（Lambert Equal-Area Projection）。

摩尔威德投影是德国数学家摩尔威德创造的。它是一种伪圆柱投影，和圆柱投影有相似之处，但又用数学方法进行了优化。这种投影方法保持了面积的准确性，也在较大的程度上控制了形状的形变量。它选择一条经线最作为基准，然后把这条经线向东和向西各90度的两条组成大圆的经线在地图上画成一个圆，效果如图所示：
 

由图可知俄罗斯、非洲和格林兰岛真正的面积关系。

阿尔伯斯等面积投影是一种圆锥投影。虽然用它画世界地图比较少见，但是美国人经常用它来画美国地图，特别是一些以郡或州为单位的专题地图，比如行政区划、投票形势、收入水平分布等，对面积比例要求高，但对轮廓形状要求并不高的图。这样，每个郡或每个州的面积是如实的，能让看图的人更好地看清形势。它的效果如下，可以看到这种投影下的俄罗斯、非洲和格林兰岛的面积关系：
 
 

从这里也可以看到，格林兰岛其实很小，俄罗斯的面积和北非地区差不多。

有人可能觉得阿尔伯特投影和前面看到的兰伯特等角投影没什么区别。对于美国和中国的地图来说，如果基准线选择恰当，这两种投影的区别确实很小。但是总体来说，在形状和面积两个方面，兰伯特等角投影更优先满足前者，而阿尔伯特投影更优先满足后者。

兰伯特等面积投影（注意不要和兰伯特等角投影弄混了）是一种等面积的平面投影，它不仅可以精确记录面积，也能不改变方向，一般用于绘制精度要求较高的地质图或导航图。这种投影一般不会把整个世界划在同一张图上，因为地图外围的区域形变会比较大（外围会在远离基准点的方向压缩，导致轮廓变得很扁）。它一般只包括某个半球、某个大陆甚至某个区域。大家感受下这种投影下的俄罗斯、非洲和格林兰岛（北极点为基准点）：
 

保持两点间距离不变：

还有一种投影的大类叫做等距离投影（Equidistant Projection）。顾名思义，等距离投影是为了保持地图上两点之间的距离的准确。然而，等距离投影的地图上，并非任意两点之间的距离都是准确的，而是在某一个方向上的任意两点间距离保持准确（例如东西方向、南北方向或某个角度的方向），或者以某个点为基准，其它点到它的距离保持准确。

等距离投影中，最有名的一种叫做等距离圆柱投影（Equidistant Cylindrical Projection）。它是公认的所有地图投影里，数学变换最简单的一种。它看起来和麦卡托投影相似，实际不然：麦卡托投影在高纬度地区为了保持形状的准确而将纬线之间的距离拉长；等距离圆锥投影的所有相邻经线和纬线之间的距离都是一样的。因此，在南北方向上，地图上任意两点的距离是保持精确的。这种地图缺点很多，既不保持形状的准确，也不保证面积的准确。但因为它制作简单，因此很多时候它被用作索引地图（例如世界各国列表）或示意地图（例如时区、货币分布、国际组织成员分布等地图）的投影。这是这种地图的效果：
 

除了上述的投影方式外，还有一些其它重要的世界地图投影。

按照效果划分，以上这三类投影是最常见的投影类型。但是在常见的世界地图中，其实还有其它的一些投影种类。例如，题主提到有时候看到俄罗斯被画得比较扁。这种情况下，估计题主是看到了用一种叫“空投影”（Plate Carree）的方法制作的地图，效果如下：
 
 

还有一种比较经典的世界地图投影叫做罗宾逊投影（Robinson Projection）。前面一直在讨论，在把3维的地球转化为2维的地图的过程中，面积、形状、角度、距离等方面的精确度不能个个都保全。于是，制图学家们开始寻找有没有折中方案，让这几方面的变形程度尽可能最小化。罗宾逊投影就是这些尝试的其中一个结果。它的效果如下：
 

本文原链接：http://www.guancha.cn/Shouwangzhixia/2015_11_16_341419_s.shtml