卡特兰数列
以下内容摘自百度百科：http://baike.baidu.com/view/1163998.htm
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概念：
卡特兰数列(catalan)经常出现在各种计数问题中，是组合数学中比较重要的数列之一。
卡特兰数列的前几项为1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……
递推公式：
(1) f(n)= f(0)*h(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)f(0) (n>=2)
(2) f(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=1,2,3,...) 注：C(2n,n)为组合数
(3) f(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
公式(1)和(2)的得来将在后面的内容中给出，公式(3)可由公式(2)利用组合数的定义展开计算得到。
卡特兰数列的应用：
(1) 括号问题
如矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
如N对括号可以有多少种匹配排列方式？比如两对括号可以有两种：（）（）和（（））
(2) 出栈次序
如一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，买票找零有多少个不同的出栈序列？
(3) 买票找零
如有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
(4) 凸多边形三角划分（请参考百度百科内容）
(5) 给定节点组成二叉树
如给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？
递推公式(1)：分析应用(2)出栈次序
首先，我们设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。同时，我们假定第一个出栈的序数是k。
第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。
此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，
即选择k这个序数的f（n）=f（k-1）×f（n-k）。
而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：
f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。
看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n+1）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=1，2，3，……）
最后，令f（0）=1，f（1）=1
递推公式(2):分析应用(2)出栈次序
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。
由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。
如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。
由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)