最小度限制生成树
最小度限制生成树
具体讲解和证明，黑书上有，IOI2004国家集训队论文--王汀 中也有讲解， 这里简单介绍求法过程。
为了方便叙述，把顶点V0的度数<=K称作度限制条件，把满足这一条件的生成树称为度限制生成树，把权值和最小的度限制生成树称为最小度限制生成树。
要求的最小K度生成树，应该有以下的步骤：
算法框架：
1. 先求出最小m度限制生成树；
2. 由最小m度限制生成树得到最小m+1度限制生成树;
3. 当dT(v0)=k时停止(即当V0的度为k的时候停止)；
部分引用论文：
第一步求解最小m度限制生成树：原图中去掉和V0相连的所有边，得到m个连通分量，而这m 个连通分量必须通过v0来连接，所以，在图G 的所有生成树中dT(v0)≥m。也就是说，当k<m时，问题无解。对每个连通分量求一次最小生成树，对于每个连通分量V’，求一点v1，v1∈V',且ω(v0,v1)=min{ω(v0,v')|v'∈V'}，则该连通分量通过边(v1,v0)与v0相连。于是，我们就得到了一个m度限制生成树，不难证明，这就是最小m度限制生成树。
第二步，由最小m度限制生成树，得到最小m+1度限制生成树，对于和V0相邻的点v，则可以知道一定会有一个环出现，只要找到这个环上的最大权边，用边(V0, v)替换掉，就可以得到一个m+1度限制生成树，枚举所有和V0相邻点v，找到替换后增加权值最小的一次替换，就可以求得m+1度限制生成树。。如果每添加一条边，都需要对环上的边一一枚
举，时间复杂度将比较高，这里，动态规划就有了用武之地。设Best(v)为路径v0—v上与v0无关联且权值最大的边。定义father(v)为v的父结点，动态转移方程：Best(v)=max(Best(father(v)),ω(father(v),v))，边界条件为Best[v0]=-∞，Best[v’]=-∞| (v0,v’)∈E(T)。
第三步, 当度为K的时候就可以退出了。
pku1639 Picnic Planning 野餐计划
这里就是一个度限制生成树的应用，聚集地点最多能放K辆轿车，把聚集地点park 作为度限制点，就可以求所有小于等于K的度限制生成树，取他们中最小值，即为这题的解。
附上一份代码，写的比较乱，仅供参考。
1
#include
<
stdio.h
>
2
#include
<
string
.h
>
3
#define
NN 30
4
#define
INF 0x3fffffff
5
int
idx, S;
//
S为需要限制度的那一点
6
int
k, mst;
//
k表示k度限制，mst为最后的结果
7
int
pre[NN];
8
int
mark[NN];
9
int
dis[NN];
10
int
vis[NN];
11
char
str[NN][NN];
12
int
map[NN][NN];
13
int
best[NN];
//
存的是最大权值边的终点
14
int
edg[NN][NN];
//
edg[i][j] = 1 表示边[i,j]已在生成树中
15
int
father[NN];
//
生成树中的父节点
16
17
int
find(
char
s[]){
18
int
i;
19
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
20
if
(strcmp(str[i], s)
==
0
)
return
i;
21
}
22
return
-
1
;
23
}
24
25
void
dfs(
int
cur){
//
将树拉成有根树
26
int
i;
27
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
28
if
(edg[i][cur]
&&
mark[i]){
29
father[i]
=
cur;
30
mark[i]
=
0
;
31
dfs(i);
32
}
33
}
34
}
35
36
int
prim(
int
s){
//
求最小生成树
37
int
i, key, Min;
38
int
sum
=
0
;
39
memset(pre,
0
,
sizeof
(pre));
40
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
41
dis[i]
=
map[s][i];
42
pre[i]
=
s;
43
}
44
memset(mark,
0
,
sizeof
(mark));
45
mark[s]
=
1
;
46
vis[s]
=
1
;
47
48
while
(
1
){
49
Min
=
INF;
50
key
=
-
1
;
51
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
52
if
(
!
vis[i]
&&
!
mark[i]
&&
dis[i]
<
Min){
53
key
=
i;
54
Min
=
dis[i];
55
}
56
}
57
if
(key
==
-
1
)
break
;
58
mark[key]
=
1
;
59
vis[key]
=
1
;
60
edg[pre[key]][key]
=
edg[key][pre[key]]
=
1
;
61
sum
+=
dis[key];
62
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
63
if
(
!
vis[i]
&&
!
mark[i]
&&
dis[i]
>
map[key][i]){
64
dis[i]
=
map[key][i];
65
pre[i]
=
key;
66
}
67
}
68
}
69
Min
=
INF;
70
int
root
=
-
1
;
//
树根
71
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
72
if
(mark[i]
&&
map[i][S]
<
Min){
73
Min
=
map[i][S];
74
root
=
i;
75
}
76
}
77
//
拉成有根树
78
mark[root]
=
0
;
79
dfs(root);
80
father[root]
=
S;
81
return
sum
+
Min;
82
}
83
84
int
Best(
int
x){
//
求得x到S路径上的最大权值边
85
int
tmp;
86
if
(father[x]
==
S)
return
-
1
;
87
if
(best[x]
!=
-
1
){
88
return
best[x];
89
}
90
tmp
=
Best(father[x]);
91
if
(tmp
!=
-
1
&&
map[tmp][father[tmp]]
>
map[father[x]][x]){
92
best[x]
=
tmp;
93
}
else
best[x]
=
x;
94
return
best[x];
95
}
96
97
void
Solve()
98
{
99
int
i, j;
100
memset(vis,
0
,
sizeof
(vis));
101
vis[S]
=
1
;
102
int
m
=
0
;
//
分支个数
103
mst
=
0
;
//
最小生成树和
104
memset(father,
-
1
,
sizeof
(father));
105
memset(edg,
0
,
sizeof
(edg));
106
for
(i
=
0
; i
<
idx; i
++
){
//
先求得m限制生成树
107
if
(
!
vis[i]){
108
m
++
;
109
mst
+=
prim(i);
110
}
111
}
112
/*
for (i = 0; i < idx; i++){
113
printf("%d----%d %d\n", father[i], i, map[i][father[i]]);
114
}可以用于调试错误
115
*/
116
int
minadd, ax, bx,tmp;
117
int
change;
//
回路上权值最大的边，用于交换
118
for
(i
=
m
+
1
; i
<=
k
&&
i
<
idx; i
++
){
119
//
再由m度生成树得到m+1度生成树，最后求得k限制生成树
120
memset(best,
-
1
,
sizeof
(best));
121
for
(j
=
0
; j
<
idx; j
++
){
122
if
(best[j]
==
-
1
&&
father[j]
!=
S){
123
Best(j);
124
}
125
}
126
minadd
=
INF;
//
交换边的最小差值
127
for
(j
=
0
; j
<
idx; j
++
){
//
遍历所有临边
128
if
(map[S][j]
!=
INF
&&
father[j]
!=
S){
129
ax
=
best[j];
130
bx
=
father[ax];
131
tmp
=
map[S][j]
-
map[ax][bx];
132
if
(tmp
<
minadd){
133
minadd
=
tmp;
134
change
=
j;
135
}
136
}
137
}
138
if
(minadd
>=
0
)
break
;
//
用于度数不大于k的限制，如果k限制，就不用break了
139
mst
+=
minadd;
140
ax
=
best[change];
141
bx
=
father[ax];
142
map[ax][bx]
=
map[bx][ax]
=
INF;
143
father[ax]
=
bx
=
S;
//
改变生成树，将点ax直接指向源点S
144
map[ax][bx]
=
map[bx][ax]
=
map[change][S];
145
map[S][change]
=
map[change][S]
=
INF;
146
}
147
}
148
int
main()
149
{
150
int
i, j, n, x, y, d;
151
char
s1[NN], s2[NN];
152
scanf(
"
%d
"
,
&
n);
153
for
(i
=
0
; i
<=
NN
-
2
; i
++
){
154
for
(j
=
0
; j
<=
NN
-
2
; j
++
){
155
map[i][j]
=
INF;
156
}
157
}
158
idx
=
1
;
159
strcpy(str[
0
],
"
Park
"
);
160
while
(n
--
){
161
scanf(
"
%s%s%d
"
, s1, s2,
&
d);
162
x
=
find(s1);
163
if
(x
==
-
1
){
164
strcpy(str[idx
++
], s1);
165
x
=
idx
-
1
;
166
}
167
y
=
find(s2);
168
if
(y
==
-
1
){
169
strcpy(str[idx
++
], s2);
170
y
=
idx
-
1
;
171
}
172
if
(d
<
map[x][y]){
173
map[x][y]
=
d;
174
map[y][x]
=
d;
175
}
176
}
177
scanf(
"
%d
"
,
&
k);
178
S
=
0
;
179
Solve();
180
printf(
"
Total miles driven: %d\n
"
, mst);
181
return
0
;
182
}
183