4个基本子空间

前面我们已经介绍过矩阵的两个重要空间：列空间和零空间，今天继续介绍矩阵的另外两个重要空间：行空间和左零空间。A的行空间就是A^T的列空间，A的左零空间就是A^T的零空间，文字描述起来比较拗口，用数学符号表示一下就会简单明了：对于矩阵A，其列空间是C(A)，零空间N(A)，行空间是C(A^T)，左零空间是N(A^T)。注意，虽然今天新增的这两个空间涉及A^T ，但我们还是从A的角度去看待这两个子空间。

4个子空间的维数分别是多少？

A为m*n矩阵，秩为r，A的零空间N(A)里都是n维向量，所以N(A)是Rⁿ的子空间，列空间C(A)是所有列的线性组合，每列是m维，所以C(A)是R^m的子空间，同样行空间C(A^T)是Rⁿ的子空间，而左零空间N(A^T)是R^m的子空间，首先结合以前的知识，我们知道列空间C(A)的维数是r，零空间N(A)维数是n-r，行空间C(A^T)维数是r（A转置的主元数与A的主元数是相同的），左零空间N(A^T)是m-r。

4个子空间的基分别是什么？

对于列空间，我们已经学会使用消元确定主元列，而主元列就是C(A)的一组基，对于零空间，我们也可以学会利用行最简式去寻找基，即特殊解，那么对于行空间和左零空间，我们当然也可以将矩阵A转置后再采用相同的方法去求，但直觉告诉我们求行空间的基、左零空间的基应该有更便捷的方法，那我们就可以减少工作量了。

我们在求列空间时，会对矩阵A进行消元并化简，如下所示，最终将A化到行最简式R，

很明显R的列空间不等于A的列空间 ，因为消元改变了A的列，但A的行空间却等于R的行空间 ，因为消元并没有让A的行发生本质变化。这样我们可以将求A的行空间转化为求R的行空间，容易看出R的行空间的基，就是R的前r行（注意消元时如果出现当前主元为0时要将下面的非零行移上来），也就是说R的前r行就是A的行空间的基（注意不是A的前r行），对于这个例子，A的秩r=2，因此A的行空间的基就是R的前两行。那么为什么这两行就是A的行空间的基？因为想象一下，我们之前所做的从A到R的所有行变换，如果沿着这些变换从R到A再逆变回去，逆变无非也就是一些数乘和向量相加，因此A中所有的行都可用R中的这两行线性组合表示出来，并且R中的前两行都不是非零行，说明两个向量是无关的，R的前r行就是A的行空间的基。在消元化简的过程中，我们不仅找到了A的行空间的基，而且化简到R后得到相对来说最好的基，最好的意思是它的形式最为简洁。顺便提一下，我们前面在分析子空间维数时说过A转置的主元数与A的主元数是相同的，虽然没有给出证明，但是从上面的例子中我们可以看出这个结论，因为共有r个主元，r个非零行，因此行空间的维数是r。

以上是对行空间基的分析，接下来介绍A的左零空间的基，首先提一下为什么要取名叫A的左零空间，这个名字并不是随便取的，求左零空间也就是求满足A ^Ty=0的y，前面已经说过，虽然其中有A ^T，但我们要从A的角度去看，所以对A ^Ty=0两边求转置以将转置去掉，得到y ^TA=0 ^T，现在理解为什么称之为A的左零空间了吧。言归正传，接着讨论如何求左零空间的基，我们以前曾经用gauss-jordon消元法求解一个方阵的逆，还以上面的A为例，现在我们把这个方法用于求左零空间的基，当然我们不是用来求A的逆，因为上面的例子中A不是方阵，其逆肯定不存在。gauss-jordon消元过程为 ，其中R是A的行最简形，从上面的过程可以看出，对A进行了什么样的操作，就对I进行了什么样的操作，所以E记录了所有的行变换，且E*A=R，对于刚刚的的例子，我们可求出E= ，因为R中的第3行是0 ^T，又因为E*A=R，因此我们就找到了这样的y ^T，所以E的第3行就是A的行空间的基，从E中我们不仅可以得到左零空间的维数，还能求出整个左零空间，对于上面这个例子，左零空间的维数是1，基只有一个向量。以上就是求左零空间基的方法，其实求消元矩阵E也不是一件容易的事，但是至少我们不需要把矩阵转置然后从头开始计算。